Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих теорию функции комплексного переменного. © Острая О. В., 2008 icon

Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих теорию функции комплексного переменного. © Острая О. В., 2008



Смотрите также:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

^ 2.1 Основные геометрические понятия. Определение функции комплексного переменного. Геометрическая интерпретация функции комплексного переменного


Определение 1. Открытым называется множество, состоящее лишь из внутренних точек.

Определение 2. Точка называется внутренней точкой множества, если она принадлежит ему вместе с некоторой своей окрестностью.

Определение 3. Под -окрестностью точки понимается открытый круг радиуса с центром в точке :

. (17)

Определение 4. Множество называется связным, если любые две его точки и можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому множеству.

Определение 5. Областью в комплексной плоскости (z) называется открытое связное множество.

Определение 6. Область называется ограниченной, если все ее точки принадлежат некоторому кругу радиуса с центром в начале координат. Иначе она называется неограниченной.

Определение 7. Границей области называется совокупность точек, не принадлежащих области , любая окрестность которых содержит точки, принадлежащие области .

Определение 8. Область вместе с границей называется замкнутой областью; обозначается это .

Определение 9. Ограниченная область называется односвязной областью, если ее граница состоит из одной связной линии; многосвязной областью, если ее граница состоит из нескольких связных линий. Связной называется линия, из любой точки которой можно перейти по ней в любую другую ее точку.

Определение 10. Говорят, что в области определена функция , если поставлено в соответствие (по некоторому закону соответствия) одно (однозначная функция) или несколько (многозначная функция) значений . Пусть . Тогда

(18)

Функция комплексного переменного (18) не имеет графика: она соответствует заданию двух действительных функций переменных и :

и . (18')

Причем функция называется действительной частью функции и обозначается , функция называется мнимой частью функции и обозначается .

Геометрический смысл ее состоит в осуществлении отображения точек комплексной плоскости на соответствующие точки комплексной плоскости (формула (18')).

Пусть в плоскости (z) кривая задана уравнением . Чтобы найти уравнение образа этой кривой в плоскости при отображении с помощью функции , нужно исключить и из уравнений

(19)

Если кривая задана параметрическими уравнениями или , то параметрические уравнения ее образа при отображении будут такими:

()

Пример 1. Даны множества точек: a) ; б) ; в) ; г) . Какие из этих множеств являются областями?

В соответствии с определениями 1–9 заключаем, что множество – открытый круг с центром в точке радиуса 3, множество – открытое круговое кольцо с центром в начале координат, – открытый угол (рис. 7) – являются областями. Построив множество г) (рисунок 10), убеждаемся, что оно не является областью (не выполняется для него условие связности).



Рисунок 10

Пример 2. Найти действительную и мнимую части функции .

Имеем ; отсюда ; .

Пример 3. В какую кривую отображается единичная окружность с помощью функции ?

Получаем ; . Исключая и из уравнений ; ; , получаем . Таким образом окружность преобразуется при преобразовании в окружность в плоскости . Так как , то, когда точка описывает полную окружность , ее образ (точка ) описывает две полные окружности .


^ 2.2 Основные элементарные функции комплексного переменного


Основные элементарные функции комплексного переменного могут быть определены следующим образом.

1. Показательная функция :

Если показатель степени является комплексным числом, то определение показательной функции теряет смысл. Поэтому показательная функция с комплексным показателем определяется с помощью равенства:

. (20)

Показательную функцию определяют также соотношением:

или

. (20')

Можно показать, что все три определения равносильны.

Функция обладает следующими свойствами:

1) Область определения показательной функции – все множество , т.е. .

2) Найдем модуль и аргумент показательной функции. Из формулы (20) следует, что

,

,

.

3) Область значений показательной функции все множество , кроме нуля, т.к. ;

4) ;

5) ; показательная функция периодическая с основным периодом .

6) – формула Эйлера (1707-1783).

2. Тригонометрические функции и :

Для и приняты следующие определения:

(21)

(22)

Для функций , и имеют место формулы Эйлера:

(23)

(24)

Равенства (23) и (24) также принимаются за определения и .

Эти функции обладают следующими свойствами:

1) Тригонометрические функции и определены для , т.к. для всех определена показательная функция .

2) .

3) ,

.

Замечание 1. Обычным образом из основного тригонометрического тождества и теорем сложения можно получить обычные тригонометрические формулы: формулы приведения, и кратного аргумента, формулы понижения степени и т.д.

Замечание 2. и может быть больше 1.

4) Функции являются периодическими с периодом .

3. Тригонометрические функции и определяются равенствами

, (25)

Для тригонометрических функций сохраняются свойства "действительной" тригонометрии.

4. Гиперболические функции определяются равенствами:

(26)

(27)

(28)

Между тригонометрическими и гиперболическими функциями устанавливается связь:

(29)

Справедливы также соотношения

(30)

(31)

5. Логарифмическая функция – комплекснозначный логарифм – определяется как функция, обратная показательной . При этом

, (32)

есть запись логарифмической функции в алгебраической форме.

Вводится понятие главного значения (однозначной ветви) , так как из формулы (32) следует, что является бесконечнозначной функцией. Справедливы соотношения (свойства функции ):

; ;

.

Заметим, что эти равенства следует понимать как равенства между множествами.

Свойства логарифмической функции:

1) Логарифмическая функция определена во всем множестве кроме нуля.

2) .

3) .

4) .

Замечание. 1) Пусть – положительное действительное число, значит .

В этом случае логарифмическая функция принимает бесконечное множество значений, одно из которых при действительно, т.е. главное значение логарифма совпадает с логарифмической функцией действительного аргумента.

2) – отрицательное действительное число, значит

.

Заметим, что ни при каких содержимое скобки в нуль не обращается, значит, логарифм отрицательного действительного числа имеет бесконечное множество значений, ни одно из которых не является действительным.

6. Обратные тригонометрические функции определяются как решения соответствующих уравнений (например, функция есть обратная по отношению к , т.е. это решение уравнения и пр.) Все эти функции бесконечнозначны и выражаются через логарифмические функции:

; (33)

; (34)

; (35)

. (36)

7. Обратные гиперболические функции вычисляются по формулам:

; (37)

; (38)

; (39)

. (40)

8.Общая степенная функция определяется по формуле

(, – комплексные числа). (41)

Пусть . Степенная функция бесконечнозначна, если или - число иррациональное.

9.Общая показательная функция . По определению

. (42)

Из представления видно, что эта функция представляет собой совокупность отдельных функций, отличающихся друг от друга множителем , .


^ 2.3 Предел и непрерывность


Определение 1. Число называется пределом функции при (обозначается ), если такое, что выполняется неравенство

. (43)

Говорят, что , если такое, что

. ()

Замечание. Существование предела по любому фиксированному пути () для функции еще не гарантирует существование предела при .

Теорема 1. Для того чтобы число было пределом функции в точке необходимо и достаточно, чтобы существовали и .

Теорема 2. Для того чтобы функция имела в точке конечный предел необходимо и достаточно, чтобы: 1) ;

2) .

Из теоремы 1 следует, что известные теоремы о пределах функции действительной переменной, связанные с арифметическими операциями, остаются справедливыми для функции комплексного переменного, т.е. если функции и имеют конечные пределы при , то

1) ;

2) ;

3) .

Пример. Показать, что для функции .

При стремящемся к 0 по любому лучу имеет место следующее выражение . Таким образом, эти пределы различны для различных направлений – они заполняют сплошь отрезок и, следовательно, не существует.

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и , т.е. любого существует такое , что из неравенства следует неравенство .

Определение 3. – называется приращением аргумента, а называется приращением функции.

Определение 4. Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции , т.е. .

Можно показать, что два последних определения непрерывности функции комплексного переменного эквивалентны.

Определение 5. Функция , непрерывная в каждой точке области , называется непрерывной в этой области.

Приведем свойства непрерывных функций комплексного переменного:

1) Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области , то в ней она достигает как своего наибольшего, так и наименьшего значения, т.е. ;

2) Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области , то она ограничена на этой области, т.е. .





страница3/10
Дата конвертации16.12.2012
Размер1,31 Mb.
ТипУчебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rud.exdat.com


База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2012
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Документы