Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих теорию функции комплексного переменного. © Острая О. В., 2008 icon

Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих теорию функции комплексного переменного. © Острая О. В., 2008



Смотрите также:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

5.3 Ряды Тейлора и Лорана


^ 5.3.1 Ряд Тейлора

Однозначная и аналитическая в точке функция разлагается в окрестности этой точки в степенной ряд – ряд Тейлора

, (67)

где коэффициенты вычисляются по формулам

. (68)

Здесь – окружность с центром в точке , целиком лежащая в области аналитичности . Областью сходимости ряда является круг c центром в точке разложения радиуса . Этот радиус равен расстоянию от центра разложения до ближайшей особой точки – точки, в которой теряет аналитичность. В круге сходимости этого ряда суммой его является функция .

Теорема Тейлора. Функция , аналитическая в круге , однозначно представима в нем своим рядом Тейлора (67), коэффициенты которого определяются по формулам (68).

Из этой теоремы и теоремы о возможности дифференцирования степенного ряда в круге сходимости любое число раз следует, что разложение функции в степенной ряд единственно. Это означает, что по любому методу разложения функции в степенной ряд мы получаем одно и то же разложение – ряд Тейлора. При ряд (67) называется рядом Маклорена.

При решении многих задач рекомендуется пользоваться следующими разложениями элементарных функций:

1)

2) ,

3) ,

4)

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

(69)

Пример 1. Разложить в ряд по степеням функцию .

Рассмотрим сначала следующее преобразование данной логарифмической функции: . Воспользуемся разложением 4) из (69) для , полагая . Так как разложение 4) имеет место при , то наше разложение будет иметь место при . Таким образом, для .

Часто при разложении функций в ряд удобно пользоваться дифференцированием или интегрированием известных разложений, а при разложении рациональной дроби – разложением ее на простейшие.

Пример 2. Разложить в ряд по степеням функцию .

Разложим на простейшие дроби: .

По формуле суммы геометрической прогрессии 7) из (69) получаем:

и .

замечая, что , и применяя теорему о возможном почленном дифференцировании степенного ряда в круге сходимости получаем:

.

Складывая ряды для и , получаем .


^ 5.3.2 Ряд Лорана

Определение. Рядом Лорана называется ряд

.

При этом ряд называется главной частью ряда Лорана, а ряд правильной частью. Если , то областью сходимости ряда является кольцо .

^ Теорема Лорана. Если функция аналитична в кольце , то в этом кольце она единственным образом представима в виде ряда Лорана (63), коэффициенты которого вычисляются по формулам:

. (70)

Заметим, что из этой теоремы кольца разложимости определяются через расстояния от центра разложения до двух "соседних" особых точек . Вычисление контурных интегралов (70), как правило, затруднительно. Поэтому для разложения функций в ряды Лорана используются различные искусственные приемы.

Пример 1. Разложить в ряд Лорана в кольце функцию .

Преобразуем данную функцию:

. ()

Первые два слагаемых в правой части () имеют нужный вид, так как представляют собой степени разности . Последние два слагаемых запишем в виде: , .

Применив формулы 7), а затем 8) (из (69)), найдем

, ()

. ()

Подставляя () и () в формулу (), после несложных преобразований получаем разложение в кольце в ряд Лорана:

.

Пример 2. Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности .

Для любого комплексного , . Полагая , получаем: . Это разложение справедливо для любой точки . В данном случае "кольцо" представляет собой всю комплексную плоскость с одной выброшенной точкой .

Пример 3. Получить различные разложения в ряд Лорана функции .

Функция имеет две особые точки: и . Следовательно, имеется три "кольца" с центром в точке , в каждом из которых является аналитической: а) круг ; б) ; в) – внешность круга . Найдем ряды Лорана для функции в каждом из этих "колец". Представим предварительно функцию в виде суммы простейших дробей:

. ().

а) Разложение в круге . Преобразуем () следующим образом:

. ()

Используя формулу 7) из (69), получаем: ();

далее ().

Подставляя эти разложения в (), получаем: – это разложение есть ряд Маклорена функции .

б) Разложение в кольце . Ряд () для функции остается сходящимся в этом кольце, так как . Ряд () для функции расходится для . Поэтому преобразуем следующим образом:

. ()

Применяя формулу 7), получаем:

. ()

Этот ряд сходится, если , т.е. при . Подставляя () и () в (), найдем .

в) Разложение для . Ряд () для функции при расходится, а ряд () для функции сходится, так как, если , то и подавно . Функцию представим в таком виде:

.

Используя формулу 7), получаем

.

Замечание: этот пример показывает, что для одной и той же функции ряд Лорана, вообще говоря, имеет разный вид для разных колец.

Пример 4. Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности ее особых точек.

Особые точки функции: .

а) Разложение в окрестности точки , т.е. в кольце . Представим функцию в виде суммы простейших дробей: . Правую часть преобразуем так: . Применяя разложение 7), в котором заменим на – , получим или .

б) Разложение в окрестности точки , т.е. в кольце . Имеем



.

^ 5.4 Задачи для самостоятельного решения


1. Разложить в ряд Тейлора, используя готовые разложения, и найти радиусы сходимости рядов:

а) по степеням ;

б) по степеням ;

в) по степеням ;

г) по степеням .

2. Разложить в ряд Лорана в окрестности точки следующие функции:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Разложить следующие функции в ряд Лорана в указанных кольцах:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .


6 Нули функции. Изолированные особые точки


^ 6.1 Нули аналитической функции


Определение. Точка называется нулем аналитической функции порядка (или кратности) , если . В случае точка называется простым нулем.

Теорема. Для того, чтобы точка была нулем -гo порядка функции , аналитической в точке , необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности этой точки имело место равенство , где аналитична в точке и .

Пример 1. Найти нули функции и определить их порядки.

Из уравнения находим точки , – нули данной функции. Имеем: , , т.е. точки – нули второго порядка данной функции.

Пример 2. Найти нули функции и определить их порядки.

Полагая , получаем, что или . Решая эти уравнения, находим нули функции . Пусть ; тогда можно представить в виде , где функция является аналитической в точке , причем . Это означает, что точка есть нуль третьего порядка. Аналогично доказывается, что и точка является нулем третьего порядка. Исследуем нули . Производная в точках отлична от нуля. Следовательно, – простые нули функции .


^ 6.2 Изолированные особые точки


Определение 1. Точка называется особой точкой аналитической функции , если в этой точке аналитичность функции нарушается.

Определение 2. Точка называется изолированной особой точкой функции , если существует окрестность этой точки с исключенной точкой , в которой аналитична, кроме самой точки .

Существует три типа изолированных особых точек. Приведем их определения.

Определение 3. Точка называется устранимой особой точкой функции , если разложение этой функции в ряд Лорана в окрестности точки не содержит главной части.

Определение 4. Точка называется полюсом кратности функции , если в разложении функции в ряд Лорана в окрестности точки главная часть разложения содержит конечное число членов, причем младшим отличным от нуля коэффициентом является .

Определение 5. Точка называется существенно особой точкой функции , если главная часть разложения функции в ряд Лорана в окрестности точки содержит бесконечное число членов.

Приведем критерии типа изолированных особых точек.

1) для того чтобы точка была устранимой особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы существовал ;

2) для того чтобы точка была полюсом кратности функции , необходимо и достаточно, чтобы , .

3) для того чтобы точка была существенно особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы не существовал.

Полезна следующая теорема.

Теорема (связь между нулями и полюсами). Для того чтобы точка была полюсом порядка функции , нужно, чтобы она была нулем -го порядка функции .

Пример 1. Для функции особой точкой является . Покажем это.

;

значит есть устранимая особая точка.

Пример 2. Для функции , является особой точкой. Так как , – это полюс. Так как для функции точка является нулем пятого порядка для функции , то – полюс пятого порядка функции .

Пример 3. Для функции является особой точкой. Разложение в ряд Лорана: в главной части содержит бесконечное число членов; это существенно особая точка.

Пример 4. Найти все особые точки функции и определить их тип.

Особыми точками являются точка и точки, в которых знаменатель обращается в нуль. Имеем , откуда , причем эти точки являются нулями первого порядка. Следовательно, в точках , функция имеет простые полюса. Точка не является изолированной особой точкой, так как она является пределом полюсов: , это означает, что любая окрестность точки содержит бесконечное число особых точек .





страница6/10
Дата конвертации16.12.2012
Размер1,31 Mb.
ТипУчебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rud.exdat.com


База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2012
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Документы