Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих теорию функции комплексного переменного. © Острая О. В., 2008 icon

Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих теорию функции комплексного переменного. © Острая О. В., 2008



Смотрите также:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

^ 6.3 Задачи для самостоятельного решения


1. У следующих функций найти нули и определить их порядки:

а) ; б) ; в) .

2. Определить характер особой точки для следующих функций:

а) ; б) ; в) .

3. Найти особые точки и определить их характер у следующих функций:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

е) ; ж) ; з) .


^ 7 Вычеты. Применение их к вычислению интегралов


7.1 Вычет функции и его вычисление


Пусть функция аналитична в некоторой окрестности точки за исключением, быть может, самой точки .

Определение. Вычетом функции относительно точки (обозначается или ) называется число, равное

, (71)

где – простой замкнутый контур, лежащий в области аналитичности функции и содержащий внутри себя только одну особую точку . В качестве удобно брать окружность достаточно малого радиуса . Из определения (71) вытекает, что вычет функции совпадает с коэффициентом разложения ее в ряд Лорана по степеням :

. (72)

Из представления (71) следует, что вычет в правильной и устранимой особой точках равен нулю. Вычет в простом полюсе определяется по формуле

. (73)

Если функция в окрестности точки является частным двух аналитических функций

,

причем , , и – простой полюс функции , то

. (74)


Вычет функции в полюсе порядка определяется по формуле

. (75)

Если точка – существенно особая точка функции , то для определения вычета необходимо найти коэффициент , в лорановском разложении функции в окрестности точки .

Пример 1. Найти вычеты функции в ее особых точках.

Особыми точками являются точки и .

В точке найдем: , т.е. точка устранимая особая точка функции . Поэтому , в точке , т.е. точка - полюс (первого порядка) функции. По формуле (73) имеем .

Пример 2. Определить вычет функции относительно точки .

Точка является полюсом третьего порядка функции, т.к. . В соответствии с (75) получим:

.

Пример 3. Найти вычет функции в ее особых точках.

Особой для данной функции является точка . Это – существенно особая точка (из свойств функции следует, что существует ). Для определения вычета найдем коэффициент разложения функции в ряд Лорана по степеням . Так как , следовательно .


^ 7.2 Основная теорема о вычетах и ее применение к вычислению контурных интегралов


Теорема Коши (основная теорема о вычетах). Если функция аналитична на границе области и внутри области, за исключением конечного числа изолированных особых точек , то

(76)

Замечание. Теорему Коши о вычетах удобно использовать, когда внутри контура интегрирования находится небольшое число особых точек.

Пример 1. Вычислить интеграл , где .

Особыми точками подынтегральной функции являются – полюс второго порядка, – полюса первого порядка. Внутри окружности (рисунок 14) лежит лишь точка . Поэтому по формуле (76)

.



Рисунок 14

Пример 2. Вычислить интеграл .

В области функция имеет две особые точки: – полюс первого порядка и – существенно особую точку.

По формуле (74) . Для нахождения вычета в точке необходимо иметь лорановское разложение функции в окрестности точки . Из представления функции в виде следует, что в ее лорановском разложении содержатся только четные степени и , так что и . По теореме Коши о вычетах (76) .


^ 7.3 Приложение вычетов к вычислению некоторых действительных интегралов


1. Если рациональная функция не имеет полюсов на вещественной оси и степень знаменателя , по крайней мере, на две единицы выше степени числителя , то

(77)

где – нули , лежащие в верхней полуплоскости ().

2. Пусть , если положить , где , тогда , , , .

Тогда

, (78)

где есть сумма вычетов функции относительно полюсов, заключенных внутри окружности .

Пример 1. Вычислить интеграл .

Подынтегральная функция – четная, поэтому



Для функции – многочлены второй и четвертой степени и . Нули функции и лежат вне вещественной оси, причем в верхней полуплоскости лежит лишь нуль . Условия формулы (77) выполнены для данной функции, и, следовательно, и .

Пример 2. Вычислить интеграл .

Применяя , получаем после преобразований

.

Внутри единичного круга при условии находится только один полюс (двукратный) . Вычет функции относительно этого полюса

и .


^ 7.4 Задачи для самостоятельного решения


1. Для следующих функций найти вычеты относительно ее конечных изолированных особых точек:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

2. Вычислить контурные интегралы:

а) ; б) ;

в) ; г) .

3. Вычислить действительные интегралы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

8 Варианты для самостоятельного решения


1 вариант


1 Найти все значения следующих корней и построить их на комплексной плоскости: .

2 Изобразить множество всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданному неравенству: .

3 Представить в алгебраической форме следующие значения функций комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке ): .

4 Восстановить аналитическую в окрестности точки функцию по известной действительной части или мнимой и значению : , .

5 Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой: , где – отрезок, соединяющий точки, и .

6 С помощью интегральной формулы Коши вычислить интеграл: .

7 Найти все лорановские разложения функции по степеням : .

8 Найти все изолированные особые точки функции и определить их тип: .

9 Найти вычеты функции относительно всех ее изолированных особых точек: .

10 При помощи вычетов вычислить данный интеграл по заданной кривой : .

11 Вычислить следующие определенные интегралы с помощью теории вычетов: .

12 Вычислить несобственный интеграл от рациональной функции с помощью теории вычетов: .


2 вариант


1 Найти все значения следующих корней и построить их на комплексной плоскости: .

2 Изобразить множество всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданному неравенству: .

3 Представить в алгебраической форме следующие значения функций комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке ): .

4 Восстановить аналитическую в окрестности точки функцию по известной действительной части или мнимой и значению : , .

5 Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой: , где – полуокружность , .

6 С помощью интегральной формулы Коши вычислить интеграл: .

7 Найти все лорановские разложения функции по степеням : .

8 Найти все изолированные особые точки функции и определить их тип: .

9 Найти вычеты функции относительно всех ее изолированных особых точек: .

10 При помощи вычетов вычислить данный интеграл по заданной кривой : .

11 Вычислить следующие определенные интегралы с помощью теории вычетов: .

12 Вычислить несобственный интеграл от рациональной функции с помощью теории вычетов: .


3 вариант


1 Найти все значения следующих корней и построить их на комплексной плоскости: .

2 Изобразить множество всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданному неравенству: .

3 Представить в алгебраической форме следующие значения функций комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке ): .

4 Восстановить аналитическую в окрестности точки функцию по известной действительной части или мнимой и значению : , .

5 Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой: , где – дуга параболы , начало которой в точке и конец в точке .

6 С помощью интегральной формулы Коши вычислить интеграл: .

7 Найти все лорановские разложения функции по степеням : .

8 Найти все изолированные особые точки функции и определить их тип: .

9 Найти вычеты функции относительно всех ее изолированных особых точек: .

10 При помощи вычетов вычислить данный интеграл по заданной кривой : .

11. Вычислить следующие определенные интегралы с помощью теории вычетов: .

12 Вычислить несобственный интеграл от рациональной функции с помощью теории вычетов: .


4 вариант


1 Найти все значения следующих корней и построить их на комплексной плоскости: .

2 Изобразить множество всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданному неравенству: .

3 Представить в алгебраической форме следующие значения функций комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке ): .

4 Восстановить аналитическую в окрестности точки функцию по известной действительной части или мнимой и значению : , .

5 Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой: , где – отрезок, соединяющий точки и .

6 С помощью интегральной формулы Коши вычислить интеграл: .

7 Найти все лорановские разложения функции по степеням : .

8 Найти все изолированные особые точки функции и определить их тип: .

9 Найти вычеты функции относительно всех ее изолированных особых точек: .

10 При помощи вычетов вычислить данный интеграл по заданной кривой : .

11 Вычислить следующие определенные интегралы с помощью теории вычетов: .

12 Вычислить несобственный интеграл от рациональной функции с помощью теории вычетов: .





страница7/10
Дата конвертации16.12.2012
Размер1,31 Mb.
ТипУчебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rud.exdat.com


База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2012
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Документы