Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих теорию функции комплексного переменного. © Острая О. В., 2008 icon

Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих теорию функции комплексного переменного. © Острая О. В., 2008



Смотрите также:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

5 вариант


1 Найти все значения следующих корней и построить их на комплексной плоскости: .

2 Изобразить множество всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданному неравенству: .

3 Представить в алгебраической форме следующие значения функций комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке ): .

4 Восстановить аналитическую в окрестности точки функцию по известной действительной части или мнимой и значению : , .

5 Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой: , где – отрезок, соединяющий точки и .

6 С помощью интегральной формулы Коши вычислить интеграл: .

7 Найти все лорановские разложения функции по степеням : .

8 Найти все изолированные особые точки функции и определить их тип: .

9 Найти вычеты функции относительно всех ее изолированных особых точек: .

10 При помощи вычетов вычислить данный интеграл по заданной кривой : .

11 Вычислить следующие определенные интегралы с помощью теории вычетов: .

12 Вычислить несобственный интеграл от рациональной функции с помощью теории вычетов: .


6 вариант


1 Найти все значения следующих корней и построить их на комплексной плоскости: .

2 Изобразить множество всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданному неравенству: .

3 Представить в алгебраической форме следующие значения функций комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке ): .

4 Восстановить аналитическую в окрестности точки функцию по известной действительной части или мнимой и значению : , .

5 Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой: . где – отрезок, соединяющий точки и .

6 С помощью интегральной формулы Коши вычислить интеграл: .

7 Найти все лорановские разложения функции по степеням : .

8 Найти все изолированные особые точки функции и определить их тип: .

9 Найти вычеты функции относительно всех ее изолированных особых точек: .

10 При помощи вычетов вычислить данный интеграл по заданной кривой : .

11 Вычислить следующие определенные интегралы с помощью теории вычетов: .

12 Вычислить несобственный интеграл от рациональной функции с помощью теории вычетов: .


7 вариант


1 Найти все значения следующих корней и построить их на комплексной плоскости: .

2 Изобразить множество всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданному неравенству: .

3 Представить в алгебраической форме следующие значения функций комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке ): .

4 Восстановить аналитическую в окрестности точки функцию по известной действительной части или мнимой и значению : , .

5 Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой: .

6 С помощью интегральной формулы Коши вычислить интеграл: .

7 Найти все лорановские разложения функции по степеням : .

8 Найти все изолированные особые точки функции и определить их тип: .

9 Найти вычеты функции относительно всех ее изолированных особых точек: .

10 При помощи вычетов вычислить данный интеграл по заданной кривой : .

11 Вычислить следующие определенные интегралы с помощью теории вычетов: .

12 Вычислить несобственный интеграл от рациональной функции с помощью теории вычетов: .


8 вариант


1 Найти все значения следующих корней и построить их на комплексной плоскости: .

2 Изобразить множество всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданному неравенству: .

3 Представить в алгебраической форме следующие значения функций комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке ): .

4 Восстановить аналитическую в окрестности точки функцию по известной действительной части или мнимой и значению : , .

5 Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой:, где – отрезок, соединяющий точки и .

6 С помощью интегральной формулы Коши вычислить интеграл: .

7 Найти все лорановские разложения функции по степеням : .

8 Найти все изолированные особые точки функции и определить их тип: .

9 Найти вычеты функции относительно всех ее изолированных особых точек: .

10 При помощи вычетов вычислить данный интеграл по заданной кривой : .

11 Вычислить следующие определенные интегралы с помощью теории вычетов: .

12 Вычислить несобственный интеграл от рациональной функции с помощью теории вычетов: .


9 вариант


1 Найти все значения следующих корней и построить их на комплексной плоскости: .

2 Изобразить множество всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданному неравенству: .

3 Представить в алгебраической форме следующие значения функций комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке ): .

4 Восстановить аналитическую в окрестности точки функцию по известной действительной части или мнимой и значению : , .

5 Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой: , где – отрезок, соединяющий точки и .

6 С помощью интегральной формулы Коши вычислить интеграл: .

7 Найти все лорановские разложения функции по степеням : .

8 Найти все изолированные особые точки функции и определить их тип: .

9 Найти вычеты функции относительно всех ее изолированных особых точек .

10 При помощи вычетов вычислить данный интеграл по заданной кривой : .

11 Вычислить следующие определенные интегралы с помощью теории вычетов: .

12 Вычислить несобственный интеграл от рациональной функции с помощью теории вычетов: .


10 вариант


1 Найти все значения следующих корней и построить их на комплексной плоскости: .

2 Изобразить множество всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданному неравенству: .

3 Представить в алгебраической форме следующие значения функций комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке ): .

4 Восстановить аналитическую в окрестности точки функцию по известной действительной части или мнимой и значению : , .

5 Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой: .

6 С помощью интегральной формулы Коши вычислить интеграл: .

7 Найти все лорановские разложения функции по степеням : .

8 Найти все изолированные особые точки функции и определить их тип: .

9 Найти вычеты функции относительно всех ее изолированных особых точек: .

10 При помощи вычетов вычислить данный интеграл по заданной кривой : .

11 Вычислить следующие определенные интегралы с помощью теории вычетов: .

12 Вычислить несобственный интеграл от рациональной функции с помощью теории вычетов: .

^ 9 Решение задач «нулевого варианта»


1) Найти значения корней и изобразить их на комплексной плоскости: .

Решение: корень степени из комплексного числа имеет значений, которые находятся по формуле , где , , - арифметический корень.

Представим комплексное число в тригонометрической форме:

, ; .

Следовательно, по формуле имеем

.

Полагая , найдем четыре значения корня (рисунок 15):











Рисунок 15

Ответ: ,

,

,

.

2) Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию .

Решение: - расстояние между точкой и точками . Это расстояние меньше 2, значит, точки множества лежат внутри окружности , значит, точки множества лежат вне окружности . Итак, – открытое кольцо (рисунок 16).



Рисунок 16

3) Представить в алгебраической форме следующие значения функций комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке ): а) , б) , в) , г) .

Решение: а) . Здесь была применена формула Эйлера: .

б)

. Здесь применена формула .

в) . В нашем случае , , , значит .

г) Применим логарифмическое тождество: .

,

где , , .

Найдем значение функции при и представим его в алгебраической форме:

.

Ответ: а) ;

б) ;

в) ;

г) .

4) Восстановить аналитическую в окрестности точки функцию по известной действительной части или мнимой и значению : , .

Решение: найдем действительную часть искомой функции , использую условия Коши-Римана:

; (79)

. (80)

Ищем функцию в виде:

. (81)

Здесь - произвольная неизвестная функция, зависящая от .

Для функции вида (81) очевидно, выполняется условие (80). Из (81) имеем

Но нам необходимо, чтобы удовлетворяла условию (80).

Тогда

.

, значит , , .

.

Ответ: .

5) Вычислить интегралы от функции комплексного переменного по данной кривой:

а) , где – часть параболы от точки до точки ;

б) , где – отрезок прямой , соединяющей точки до точки (рисунок 17).

Решение: а) для вычисления интеграла используем формулу

, где .

Перепишем подынтегральную функцию в виде: .

Применим формулу и получим

.

Так как – парабола , то для параболы имеем: и, значит,

.

б) для вычисления интеграла применим формулу

, где – комплексное уравнение пути (кривой) интегрирования , причем - значение параметра , которое отвечает началу пути интегрирования, - концу пути интегрирования.



Рисунок 17

Запишем уравнение отрезка интегрирования в комплексном виде ; пусть , , так как , то . Тогда и - комплексное уравнение отрезка интегрирования;



.

По формуле имеем





.

Ответ: а) ;

б) .

6) Вычислить интеграл, применив формулу Коши .

Решение: для вычисления воспользуемся формулой Коши

.

Функция аналитическая в круге , значит в формуле можно положить ( – окружность ) и получим

.

Ответ: .

7) Найти все разложения данной функции в ряд Лорана по степеням .

Решение: дробь правильная. Найдем корни уравнения . Имеем два простых корня и являются особыми точками функции .

Кольца аналитичности функции :



Разлагаем на элементарные дроби:

.

В каждом кольце аналитичности элементарные дроби разлагаем в ряд, используя разложения в ряд Тейлора.

При получаем:

,

Следовательно, в круге ряд Лорана функции имеет вид:

.

Этот ряд является рядом Тейлора, так как в точке функция аналитична.

При получаем



Следовательно, в кольце ряд Лорана функции имеет вид:



При получаем



Следовательно, в области ряд Лорана функции имеет вид:



Итак,







Ответ: При ,

при ,

при .

8) Найти все изолированные особые точки функции и определить их тип:

а) ;

б) .

Решение: а) разложим знаменатель дроби на простые множители, тогда функция примет вид . Находим нули знаменателя. Это точки . Причем все эти нули являются простыми, т.е. нулями первого порядка. Так как числитель дроби ни в одной из этих точек не обращается в нуль, то эти точки являются простыми полюсами исходной функции.

б) для функции особая точка функции; во всех остальных точках функция аналитическая.

Для определения вида особой точки найдем разложение функции в ряд Лорана. Введем обозначение . Тогда



.

Главная часть разложения содержит бесконечное множество членов, – существенно особая точка.

Ответ: а) Для функции точки являются простыми полюсами.

б) Для функции точка является существенно особой точкой.

9) Найти вычеты функции относительно всех ее изолированных особых точек:

а) ;

б) .

Решение: для вычисления вычетов относительно особых точек используют следующие формулы:

1) , где - коэффициент разложения в ряд Лорана функции в окрестности особой точки ;

2) , если - простой полюс;

3) , если ;

4) , если - полюс -го порядка ().

а) особыми точками данной функции являются и .

В точке получаем: .

Следовательно, точка – полюс второго порядка.

.

В точке получаем: .

Следовательно, точка – полюс первого порядка функции .

По формуле получаем:

.

б) особой точкой функции является точка . Это существенно особая точка, так как разложение Лорана функции в окрестности точки имеет вид

, т.е. содержит бесконечное число отрицательных степеней . Так как в этом разложении, то .

Ответ: а) , .

б) .

10) При помощи вычетов вычислить данный интеграл .

Решение: применим основную теорему о вычетах, по которой , где - особые точки функции , которые лежат внутри замкнутой кривой .

В круге функция аналитична всюду кроме точек и , являющихся простыми полюсами. Все другие особые точки функции лежат вне окружности и поэтому не учитываются. Получаем:

; .

Поэтому .

Ответ: .

11) Вычислить интеграл с помощью теории вычетов.

Решение: вводим подстановку . Если изменяется от до , то пробегает окружность в положительном направлении, так как , .

.

Функция внутри круга имеет единственный простой полюс . Находим



Следовательно,

.

Ответ: .

12) Вычислить несобственный интеграл с помощью теории вычетов.

Решение: рассмотрим интеграл , где - замкнутый контур, состоящий из отрезка действительной оси и полуокружности верхней полуплоскости, опирающейся на отрезок . Найдем для полюсы: .

Полюсы подынтегральной функции , являются полюсами второго порядка. Ни один полюс не лежит на действительной оси и степень числителя на три единицы ниже степени знаменателя. Нам нужны только те полюсы, которые находятся в верхней полуплоскости. Это будет .

Используя соответствующую формулу, получим:

, но

.

Следовательно, .

Ответ: .

Теория функций комплексной переменной росла и развивалась постепенно, по мере развития всего математического анализа. Чтобы представить себе, как формировалось понятие комплексного числа, представление о геометрическом смысле и функции комплексного переменного, приведем исторический очерк развития теории функций комплексного переменного, взятый из учебного пособия [2].





страница8/10
Дата конвертации16.12.2012
Размер1,31 Mb.
ТипУчебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rud.exdat.com


База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2012
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Документы