Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих теорию функции комплексного переменного. © Острая О. В., 2008 icon

Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих теорию функции комплексного переменного. © Острая О. В., 2008



Смотрите также:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

10 Из истории развития теории функций комплексного переменного


^ 10.1 Первое появление комплексных чисел


На выражения вида , где , впервые обратил внимание итальянский ученый Джироламо Кардано (1501 – 1576). Кардано родился в Павии, окончил Павийский университет (1521), доктор медицины (1526), был практикующим врачом. Читал лекции по математике и медицине в Миланском университете (с 1534 г.). Профессор медицины Павийского университета с 1539 г.

Кардано был одним из тех математиков, которые открыли способы решения алгебраических уравнений третьей и четвертой степеней. В 1545 г. вышла его книга «Великое искусство или о правилах алгебры», посвященная решению указанных уравнений. В книге рассматриваются и квадратные уравнения. Он обращает внимание на то, что при нахождении корней квадратного уравнения в некоторых случаях приходят к квадратному корню из отрицательного числа. Кардано рассматривал следующую задачу: найти два числа, сумма которых равна 10, а произведение равно 40. Эта задача сводится к решению системы уравнений



или к решению квадратного уравнения . Решая это квадратное уравнение, он находит, что , . Очевидно , должно быть также . Чтобы получить этот результат, необходимо принять, что . Решения вида Кардано называл «софистически отрицательными». Он рассматривал такие решения как курьез и старался не пользоваться ими (считая, что в таких случаях задача не имеет решений).

Однако в дальнейшем ему снова пришлось рассматривать выражения при изучении кубических уравнений. Решая уравнение , он получал его корень по правилу, которое соответствует формуле

. (82)

По формуле (82) невозможно было найти корень, когда

. (83)

подкоренное выражение для квадратного корня оказывалось отрицательным; этот случай назвали неприводимым. Например, уравнение имеет корень , но по указанной формуле получаем . Каким же образом из этой формулы извлечь число 4? Как объяснить это удивительное обстоятельство?

Чтобы ответить на подобные вопросы, математикам XVI-XVII вв., необходимо было научиться обращаться с выражениями вида ; в частности, изучить, как извлекать кубические корни из таких выражений. Сначала математики очень неохотно приступали к изучению этих выражений. Они называли выражения «мнимыми числами», «потайными решениями» уравнений. Считалось, что такие выражения не имеют реального содержания. Положение осложнялось тем, что к тому времени еще не успели как следует освоить и отрицательные числа. Как правило, отрицательных чисел стремились избегать. Об этом свидетельствует тот факт, что кубические уравнения, не содержащие члена с квадратом переменной, рассматривали в следующих трех видах:

, , ,

где и – действительные положительные числа (а не в виде , где р и q действительные числа как положительные, так и отрицательные). Поскольку коэффициенты уравнения считались положительными, то необходимо было исследовать отдельно три указанных вида кубических уравнений. Даже в более позднее время отрицательные числа называли «ложными» (так как они меньше, чем ничто, т.е. меньше нуля). При рассмотрении выражений прибавлялась новая трудность – нужно извлекать квадратный корень из «ложного» числа. Получить что-нибудь реальное при такой операции не рассчитывали. Результаты этих операций считали бесполезными и старались их не применять.

Пользу мнимых величин первым оценил итальянский математик и инженер-гидравлик Бомбелли (1526-1573). Рафаэль Бомбелли родился в Болонье. Изучал математику в Болонском университете. Его научные исследования относились к алгебре и геометрии. В 1572 г. было опубликовано его сочинение «Алгебра». С помощью мнимых величин он объяснил, как получить действительные решения кубического уравнения в неприводимом случае.

Он отмечал, что разность в этом случае является отрицательной, поэтому квадратный корень из нее не может быть ни положительным, ни отрицательным. Бомбелли предложил названия для такой величины: плюс от минуса (piu di meno), когда ее прибавляют и минус от минуса (тепо di meno), когда ее вычитают. Таким образом, у Бамбелли piu di тепо R. q. 3 означает , а тепо di тепо R. q. 5 означает . Далее в его книге приводятся правила умножения мнимых и действительных чисел. Эти правила даны в словесной формулировке, в современных обозначениях они записываются так:

,

.

Например, последнее правило имело такую формулировку: «Минус от минуса на плюс от минуса дает плюс». Указанными правилами были заложены камни фундамента теории комплексных чисел. Он провел ряд примеров на действия над комплексными числами: .

Бомбелли обнаружил, что кубические корни из комплексно сопряженных чисел являются комплексно сопряженными числами. Этим он воспользовался для исследования неприводимого случая при решении кубического уравнения . Решение (821) этого уравнения он записал в виде

(84)

и положил , ; тогда , , откуда , . Последнее уравнение имеет действительный корень. Таким образом, Бомбелли объяснил, как уравнение в неприводимом случае может иметь действительный корень, хотя он выражается через кубические корни из мнимых величин:

.

Необходимо отметить, что общего решения задачи Бомбелли не получил, поскольку для определения он снова вынужден был рассматривать неприводимый случай: уравнение совпадает с уравнением при , , . Путем проб он смог решить отдельные числовые примеры.

Вопрос об извлечении корней из комплексных чисел был рассмотрен Муавром в начале XVIII в. [2, с. 176–179]

^ 10.2 Возникновение теории функций комплексного переменного


Первое применение комплексных чисел к решению задач математического анализа принадлежит Лейбницу и И. Бернулли. Именно в печатных работах и в научной переписке оба ученых, используя для интегрирования рациональных функций прием разложения на элементарные дроби, пришли к интегралам вида , где и – комплексные числа, и рассматривали их как «мнимые логарифмы». Насколько, однако, смутными и противоречивыми были тогда сведения о комплексных числах видно, например, из того, что Лейбниц в 1702 году в одной из своих статей отзывается о мнимых числах как о «чуде анализа, ... двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием». В этой же статье он ставит следующий важный вопрос: можно ли любой многочлен с действительными коэффициентами представить в виде произведения множителей первой и второй степени? Лейбниц заявляет, что это не верно. В частности, он не заметил, что двучлен можно разложить на множители и , хотя и рассматривал возможность такого разложения.

Оперируя с логарифмами отрицательных и мнимых чисел, ни И. Бернулли, ни Лейбниц не знали, что нужно понимать под логарифмом комплексного числа. Это видно из спора между Лейбницем и Бернулли о логарифмах отрицательных чисел. Лейбниц утверждал, что логарифмы отрицательных чисел мнимы, а Бернулли пытался доказать, что они действительны. Хотя Лейбниц и занимал в этом споре формально правильную позицию, однако, по существу, был весьма далек от истины; он, так же как и его оппонент, и не подозревал, что логарифм многозначен. Теорию, устраняющую все затруднения, дал Эйлер в статье «Спор между Бернулли и Лейбницем о логарифмах отрицательных и мнимых чисел» (1749).

Бернулли утверждал следующее: поскольку , то . Лейбниц возражал, что правило дифференцирования логарифмов справедливо только для положительных х. Эйлер не согласился с этим возражением Лейбница и отметил, что «аргумент И. Бернулли не доказывает того, что хочет доказать». Все дело в том, что из равенства дифференциалов двух функций и следует лишь, что эти функции и отличаются на постоянную. Постоянная эта равна , так как ; утверждение Бернулли означает, что , но это должно быть доказано.

Эйлер показал, что ни один из его предшественников, стоявших на противоположных позициях, не сумел обосновать свою точку зрения. Выяснив это и одновременно охарактеризовав всю трудность во­проса, он изложил правильное решение вопроса.

Леонард Эйлер сыграл важнейшую роль в развитии начал теории аналитических функций в XVIII в. Первый этап его изысканий заканчивается классическим сочинением «Введение в анализ бесконечных Т. 1» (1748). В начале этой книги автор подчеркивает, что «даже нуль и мнимые числа не исключаются из значений переменной величины» и далее дает множество примеров плодотворности такого широкого толкования переменной. Таким образом, переменная величина у Эйлера является комплексной переменной. Во второй главе Эйлер формулирует теорему о том, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть разложен на множители первой и второй степени. Однако он не владеет полным доказательством этой важной теоремы. Фактически оно должно было бы основываться на доказательстве существования корня любого алгебраического уравнения с действительными коэффициентами: для такого доказательства математика XVIII в. еще не создала почвы. В седьмой главе «Введения в анализ» сообщаются установленные Эйлером формулы для показательной функции и логарифма, которые в современной записи выглядят так:

, .

В восьмой главе рассматриваются тригонометрические функции комплексной переменной , , , ; формула Муавра впервые в математической литературе появляется в явном виде

.

Здесь же Эйлер получает знаменитые формулы

, ,

которые в настоящее время называют его именем, а также формулы

, ,

выражающие мнимые показательные количества через синусы и косинусы действительных дуг. Итак, Эйлер в течение 30-40-х годов XVIII в. разработал теорию элементарных функций комплексной переменной и к известным разложениям этих функций в степенные ряды добавил еще аппарат бесконечных произведений. В частности, он получил разложение функции в бесконечное произведение

.

Следующий этап в развитии теории функций комплексной переменной связан с открытием того фундаментального факта, что пары сопряженных гармонических функций, т.е. решения системы дифференциальных уравнений с частными производными

,

могут быть получены как действительные и мнимые части произвольных аналитических функций комплексной переменой и с приложениями этого факта к решению задач механики, картографии и интегрального исчисления. Основной предпосылкой для указанных исследований служило истолкование уравнения условия, при котором выражение представляет полный дифференциал некоторой функции от х и у. Этот результат был получен Эйлером в 1734 г. (опубликован в 1740 г.).

В «Опыте новой теории сопротивления жидкости» (1752) Д' Аламбер, в связи с изучением обтекания твердого тела однородной невесомой жидкостью, решает задачу отыскания двух функций р и q по их полным дифференциалам

, .

Из сравнения этих дифференциалов он получает уравнения

, ,

называемые обычно уравнениями Коши-Римана. Эти уравнения получил вновь (притом из весьма общих соображений) и существенно использовал Эйлер, поэтому исторически значительно правильнее называть их уравнениями Д'Аламбера-Эйлера.

В работах Д'Аламбера и Эйлера, в последующих трудах Эйлера и Лагранжа комплексные числа выступают как пары действительных чисел, имеющих тот или иной конкретный смысл – геометрический, физический или аналитический (пары функций). Опираясь на то или иное истолкование комплексных чисел, математики рассматривают соотношения между комплексными числами, как источник соотношений между действительными числами, как «сдвоенные» соотношения между последними.

Эйлер в связи с задачей о построении географических карт изучал проблему конформного отображения в общей постановке и использовал для этой цели комплексную переменную.

Таким образом, в XVIII в. был накоплен обширный материал по основам теории аналитических функций и выявлена плодотворность изучения функций комплексной переменной. Основную роль в этой работе играл петербургский академик Леонард Эйлер. [2, с. 179–182]


^ 10.3 Уточнение концепции комплексного числа


В дальнейшей истории теории функций комплексной переменной существенную роль играло развитие и распространение представлений о комплексных числах как о векторах или точках плоскости. Весьма близок к таким представлениям был Эйлер в тех работах, где он переходил от записи комплексного числа в виде к тригонометрической форме комплексного числа , а также в статьях, где он переходил от точек плоскости (географической карты) к комплексным числам , выражал последние через долготу и широту точек сферы, а затем возвращался к координатам хОу.

Полное геометрическое истолкование комплексных чисел и основных действий над ними впервые было предложено норвежцем Каспаром Весселем (1745–1818), работавшим геодезистом-картографом Датской академии наук. Оно содержится в его единственном математическом труде, представленном академии в 1797 г. и два года спустя напечатанном в ее записках: «Опыт об аналитическом представлении направления и его применениях, преимущественно к решению плоских и сферических многоугольников». Целью Весселя было создать удобный аппарат решения геодезических задач, для чего он систематически разработал векторное исчисление на плоскости, тут же выступающее как геометрическая модель алгебры комплексных чисел. Идея выразить изменение направления отрезка (слово «вектор» введено позже) с помощью алгебраических символов формулируется совершенно отчетливо. «Настоящий опыт предпринимается с целью узнать, как аналитически представлять направление», и «посредством одного только уравнения, связывающего один неизвестный отрезок и несколько известных отрезков, получить такое выражение, которое сразу представляло бы искомый отрезок как по величине, так и по направлению». Обычные алгебраические операции позволяют изменить направление только на противоположное, т.е. положительное на отрицательное и наоборот. Создание исчисления отрезков, имеющих на плоскости произвольные направления, требует обобщения алгебры; нужно «расширить определения алгебраических операций, но так..., чтобы не было противоречия со старой теорией чисел...»

Применяя правило умножения к основным единицам, обозначаемым +1, –1, +ε, –ε, Вессель вывел следующие формулы:

, , ,

, , , ,

, , .

«Отсюда следует, – заключает Вессель, – что ε равно ».

Направленному отрезку ставится в соответствие комплексное число в тригонометрической форме и рассматриваются все операции над комплексными числами; формула Муавра доказывается и для дробного рационального показателя.

Таким образом, в «геометрическом анализе» Весселя нашли реальное истолкование и обоснование комплексные числа и действия над ними. Понятия, в течение двухсот пятидесяти лет представлявшиеся только удобными фикциями, получили ясный реальный смысл, а сам термин «мнимое число» стал всего лишь историческим пережитком.

К сожалению, замечательный труд Весселя стал известен широким кругам математиков только в конце XIX в., после того, как в 1897 г. Датская академия наук опубликовала его французский перевод. В конце XVIII вив начале XIX в. геометрическому истолкованию комплексных чисел и операций над ними пришли и другие ученые, среди которых живший в Париже уроженец Женевы Жан Робер Арган (1768–1822). Его сочинение «Опыт некоторого способа представления мнимых величин в геометрических построениях» было издано анонимно в Париже (1806). Оно оставалось незамеченным, пока Жозеф Диаз Жергонн (1771–1859), основатель журнала «Анналы чистой и прикладной математики», не опубликовал указанную работу в четвертом номере своего издания (1813). После этого сочинение Аргана получило широкую известность. Арган предложил краткое и элегантное доказательство основной теоремы алгебры.

В первой четверти XIX в. многие математики были весьма близки к геометрическому представлению комплексных чисел. Всеобщую известность и признание представления комплексных чисел в виде точек плоскости получило с 1831 г., когда было опубликовано сочинение Гаусса «Теория биквадратных вычетов», включавшее обоснование комплексных чисел и их геометрическую интерпретацию. Комплексные числа использовались Гауссом почти во всех его работах по арифметике, алгебре, теории функций, теории поверхностей (конформное отображение).

Долгий и сложный путь к геометрическому истолкованию комплексных чисел проделал Коши. Понимание им комплексных чисел менялось почти на протяжении всей его творческой деятельности. В «Алгебраическом анализе» (1821) он относит «мнимые выражения» (т.е. комплексные числа) и «мнимые уравнения» (т.е. равенства, содержащие комплексные числа) к разряду символических, понимая под последними такие, которые «взятые буквально не точны или лишены смысла, но из которых можно выводить точные результаты, модифицируя и меняя по определенным правилам либо сами уравнения, либо символы, в них содержащиеся». Он уточняет, что «всякое мнимое уравнение – это только символическое представление двух уравнений между двумя действительными количествами». Почти через четверть века Коши вновь обращается к выяснению понятия комплексного числа. Он снова повторяет прежнюю концепцию, ссылаясь на «Алгебраический анализ». Вместе с тем он продолжает искать иное, содержательное понимание комплексных чисел. Таким поискам посвящено несколько работ, опубликованных после 1847 г. Коши останавливается на геометрическом представлении комплексного числа, отдавая ему преимущество перед алгебраическим. Он предлагает «после новых и зрелых размышлений» полностью отказаться от знака и заменить теорию мнимых выражений теорией количеств, названных «геометрическими». При этом геометрическое количество является вектором с длинной (называемой модулем) и полярным углом р (аргумент или азимут). Геометрическое количество приводится к виду , который называется аффиксом точки .

В статье «О функциях геометрических количеств» Коши дал определение функции комплексной переменой. Если аффикс подвижной точки и – аффикс движущейся точки В, то «Z должно считаться функцией , когда значение z определяет значение Z. Но для этого достаточно, чтобы X и Y были определенными функциями х и у. Тогда также положение движущейся точки А будет определять всегда положение движущейся точки В». Итак, Коши узаконил наглядное представление о функции комплексной переменной, которым он фактически (не вполне осознанно) пользовался в своих предыдущих исследованиях и которое вполне естественным представлялось Гауссу еще в 1811 г.

В заключение приведем некоторые сведения, относящиеся к символике и терминологии. Знак мнимой единицы (от слова imaginaire – мнимый) предложил Эйлер в 1777 г. (опубликовано в 1794 г.), а в общее употребление ввел Гаусс в 1801 г.; Коши стал им пользоваться с 1847 г. Термин «комплексное число» встречается у Л. Карно (1803 г.), но в обиход вошло благодаря Гауссу (с 1831 г.). Слово «сопряженный» впервые применил Коши в 1821 г., «модуль» – Арган, за ним Коши. Слова «абсолютная величина» и запись принадлежат Вейерштрассу (хотя об абсолютной величине писал Арган). Термин «норма» для комплексного числа предложен Гауссом. [2, с. 183–185]


^ 10.4 Развитие комплексного интегрирования


Наибольшее значение для построения теории функций комплексной переменной имели исследования, в которых применялись и развивались эйлеровы методы вычисления определенных интегралов с использованием комплексной переменой.

Лаплас в цикле работ, опубликованных в 1782-1786 гг., развивал метод решения линейный разностных и дифференциальных уравнений, основанный на замене неизвестной функции интегралами вида или , где – новая неизвестная функция. Здесь же впервые встречается знаменитое преобразование Лапласа. Указанные интегралы берутся между пределами, удовлетворяющими некоторому уравнению – уравнению пределов, вообще неалгебраическому. Нередко корни этого уравнения оказывались мнимыми. Получив интегралы с «мнимыми пределами», Лаплас подвергал их различным преобразованиям, основанным на замене переменной интегрирования, и приходил к интегралам от действительных функций действительной переменной. Лаплас отмечал, что переходы от действительного к мнимому позволили ему найти значения многих определенных интегралов, и оценивал роль этих переходов как своего рода индукцию, признавая необходимой дополнительную проверку результатов, полученных на этом пути. Он указывал, что Эйлер одновременно с ним использовал переход от действительного к мнимому для вычисления интегралов, но что полученные Эйлером результаты вышли в свет позднее соответствующих результатов Лапласа.

Проблема комплексного интегрирования в полном и совершенном виде была высказана Гауссом в его письме к Бесселю от 19 декабря 1811 г., которое, к сожалению, впервые было опубликовано вместе со всей перепиской двух ученых только в 1880 г. Гаусс писал следующее.

«Что нужно понимать под для . Очевидно, если хотят исходить из ясных понятий, нужно принять, что х, отправляясь от значения, для которого интеграл должен равняться нулю, посредством бесконечно малых приращений (каждое вида ) переходит к и тогда сложить все . Так смысл вполне установлен. Но переход может совершаться бесконечно многими способами. Так же как совокупность всех действительных чисел можно мыслить в виде бесконечной прямой линии, так и совокупность всех величин, действительных и мнимых, можно сделать зримой посредством бесконечной плоскости, каждая точка которой, определяемая абсциссой а и ординатой b, будет как бы представлять величину . Непрерывный переход от одного значения х к другому совершается поэтому по линии и, следовательно, возможен бесконечно многими способами. Я утверждаю теперь, что интеграл при двух различных переходах сохраняет одно и то же значение, если внутри части плоскости, заключенной между двумя линиями, представляющими переход, функция нигде не равна . Это прекрасная теорема, нетрудное доказательство которой я дам при удобном случае. Она связана с другими прекрасными истинами, касающимися разложений в ряды. Переход в каждой точке следует производить так, чтобы ни разу не затронуть места, где . Я настаиваю на том, что такие точки следует обходить, что для них, очевидно, первоначальное основное понятие интеграла теряет ясность и легко приводит к противоречиям.

Вместе с тем, отсюда ясно, как функция, порожденная посредством интеграла может иметь многие значения для одного и того же значения х, а именно в зависимости от того, будет ли при переходе , допущен однократный или многократный обход вокруг точки, в которой или же такого обхода совсем не будет».

Здесь же Гаусс впервые дает полное объяснение многозначности логарифма, определяемого как .

Результаты исследований Коши, имеющие значение для истории теории функций комплексной переменной, первоначально изложены в его «Мемуаре о теории определенных интегралов» (представлен в 1814 г., опубликован в 1825 г.). В этом мемуаре нет еще того отчетливого понимания всей проблемы комплексного интегрирования, которое обнаруживается в цитированном письме Гаусса. Такое понимание складывалось у него постепенно, в течение почти трех десятилетий. Однако его труды были опубликованы в свое время (хотя и с некоторым опозданием), и именно они, а не идеи Гаусса, легли в фундамент систематического построения общей теории.

В «Мемуаре об определенных интегралах, взятых между мнимыми пределами» Коши определяет интеграл по аналогии с интегралом от функции действительной переменной как предел интегральной суммы. Определенный им интеграл от комплексной функции является интегралом вдоль некоторой кривой и посредством уравнений этой кривой сводится к обыкновенному определенному интегралу. Коши формулирует и доказывает здесь свою основную теорему: «Если конечна и непрерывна для и , то значение интеграла не зависит от природы функций , (т.е. не зависит от кривой интегрирования, соединяющей в прямоугольнике , вершины и ). Это и есть интегральная теорема для случая прямоугольной области.

В период с 1826 по 1829 г. Коши создает теорию вычетов. Название вычет (буквально: остаток) объясняется тем, что Коши пришел к этому понятию, отыскивая разность между интегралами, взятыми по таким двум путям, имеющим общее начало и конец, между которыми заключаются полюсы функции. В таком виде вычеты встречаются в указанных двух его мемуарах. Во втором из них уделяется наибольшее внимание анализу случаев, когда функция обращается в бесконечность внутри или на сторонах прямоугольника. Здесь интегралы по разным путям имеют вообще неравные значения, и Коши вычисляет разности между ними, делая различные предположения.

Сам термин и определение вычета встречаются впервые в его статье «О новом роде исчисления, аналогичного исчислению бесконечно малых» (1826). Коши вводит и определяет понятие следующим образом: «Если, после того как найдены значения х, обращающие в бесконечность, прибавить к одному из этих значений, обозначаемому через , бесконечно малое количество ε и далее разложить по возрастающим степеням этого количества, то первые члены разложения будут содержать отрицательные степени и один из них будет произведением на конечный коэффициент, который мы назовем вычетом функции , относящимся к частному значению переменной .

Вслед за этой статьей Коши написал ряд других, в которых рассматривал приложения теории вычетов к вычислению интегралов, разложению функций в ряды и бесконечные произведения. [2, с. 186–188]

^ 11 Биографический словарь





страница9/10
Дата конвертации16.12.2012
Размер1,31 Mb.
ТипУчебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rud.exdat.com


База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2012
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Документы