Главная редакция icon

Главная редакция



Смотрите также:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11


Д.Я. Cmpoйk


КРАТКИЙ ОЧЕРК

ИСТОРИИ

МАТЕМАТИКИ


5–Е ИЗДАНИЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ

Перевод с немецкого И. Б. ПОГРЕБЫССКОГО




МОСКВА «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКОМАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1990


ББК 22.1г

С86

УДК 51(091)



ABRISS DER GESCHICHTE

DER MATHEMATIK


VON DIRK J. STRUIK


VEB DEUTSCHER VERLAQ

DER WISSENSCHAFTEN

BERLIN 1963




С т р о й к Д. Я. Краткий очерк истории математики. Пер. с нем.—5- изд., испр.— М.: Наука. Гл. ред. физ.мат. лит., 1990.— 256 с. ISBN 5-02-014329-4.

Книга известного голландского математика и историка математики Д. Стройка является одной из лучших в мировой математической литературе, в ней живым, образным языком изложена история математики от зарождения этой науки до конца 19го столетия. 4е изд.— 1984 г.

Для преподавателей математики, студентов университетов и педагогических институтов, лиц, интересующихся математикой, ее историей и историей науки вообще.

 «Наука». Физматлит, перевод на русский язык, 1990
С1602010000117 3290

053 (02) 90


ISBN 5020143294

Предисловие ОСR-редактора

История математики, как свидетельствует практика, мало интересует самих математиков, а философы недостаточно математически подкованы, чтобы чувствовать себя здесь уверенно. Книга Стройка частично восполняет лакуну в Интернет-контенте данной области.

Книга была отсканирована и отредактирована в конце марта 2005 (вплоть до 4.04.2005). Я придерживался принципа отображения «страница-в-страницу», т.е. порядковый номер страницы оригинала совпадает номером, вставляемым Вордом. Некоторые формулы были набраны вручную, списки литературы сверялись в незначительной степени, поэтому они изобилуют опечатками (у меня не хватило сил их править, равно как и изменять в подстрочнике апостроф на единицу).

Matigor, mivmiv_@aport.ru

ПРЕДИСЛОВИЕ

^ КО ВТОРОМУ РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

«Краткий очерк истории математики» известного голландского математика и историка науки Д. Я. Стройка не нуждается в особых рекомендациях. С 1948 г., когда эта книга появилась на английском языке, она вышла в переводе на польский (двумя изданиями), украинский, немецкий (четырьмя изданиями), венгерский, китайский, японский и чешский языки; потребовались и два новых английских издания книги. В очень скромном объеме автор дал последовательное и живое изложение основных фактов, событий, идейных направлений многовековой истории математики от ее зарождения до начала двадцатого столетия, все это — с учетом движущих сил общественного развития в целом. Принципиальные установки автора с достаточной четкостью сформулированы в его предисловии к немецкому изданию, а также в предисловии, написанном им для русского издания. Среди выдвигаемых Д. Я. Стройком положений есть и спорные, но несомненно, что его книга не догматична, она будит мысль н вполне соответствует современному состоянию истории науки.

Перевод сделан с учетом немецких изданий, в которые автор внес ряд изменений и дополнений. В соответствии с пожеланиями автора и издательства переводчик добавил несколько параграфов по истории математики в России1) (эти параграфы отмечены звездочкой), а также значительно пополнил библиографию и снабдил примечаниями некоторые места авторского текста. Эти примечания имеют свою нумерацию и обозначены числами в квадратных скобках.

И. Погребысский

') Пятое издание печатается без добавлений переводчика.— Примеч. редакции

ПРЕДИСЛОВИЕ

^ АВТОРА К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ


Впервые эта история математики появилась в 1948 г. (изд. Dover Company в НьюЙорке). В предшествовавшие годы я время от времени читал курсы лекций по истории естествознания и математики в Массачусетском технологическом институте, и первый такой курс был прочитан по предложению профессора Тайлера (Harry W. Tyler), известного как соавтор, вместе с Седжвиком (W. T. Sedgwick), учебника по истории естествознания (1917 г.), одной из первых книг такого рода в США. А мое первое знакомство с историей естествознания состоялось в годы, когда я был студентом Лейденского университета, где Вольграф (J. A. Vollgraf) читал лекции небольшой студенческой аудитории, — тот самый др Вольграф, который вложил столько добросовестного и самоотверженного труда в издание собрания сочинений Гюйгенса. Но понастоящему я заинтересовался историей математики во время пребывания в Италии в 1924— 1925 гг., когда Бортолотти (Etlore Bortolotti) познакомил меня со своими исследованиями о болонских алгебраистах шестнадцатого века. Этот интерес усилился благодаря встречам в Риме с Энриквесом (F. Enriques) и Вакка (G. Vacca), авторами замечательных работ по истории науки. Там же я встретился с Джино Лориа (Gino Loria). На классической почве Италии нетрудно заинтересоваться историей нашего научного наследия.

С самого начала я понял, что история математики — не только история развития понятий, но одна из частей истории человеческой деятельности, в которой отражается борьба человека с природой, притом не абстрактного человека, а человека как члена общества. Однако большинство историков математики рассматривают ее почти исключительно как историю идей, понятий, переходящих от

одного математика к другому, который их далее развивает. Галилей повлиял на Кавальери, Кавальери — на Торричелли, Торричелли — на Паскаля, Паскаль — на Лейбница, а Лейбниц — на братьев Бернулли. Эти историки лишь при случае упоминают о том или ином важном политическом или религиозном событии — таком, как завоевания Александра Македонского или распространение ислама,— влияние которого на развитие математики столь велико, что игнорировать его нельзя. Этот метод односторонен, но не ошибочен — он выявляет важные этапы в истории математики. Но при этом не выясняется, что существует тесная зависимость между математикой и общекультурными устремлениями эпохи, устремлениями, которые сами отражают, непосредственно или опосредствованно, преобладающие общественные и экономические условия.

Важным примером является деятельность алгебраистов шестнадцатого столетия. Эти математики Возрождения были участниками общего культурного движения, заодно они были творческими медиками, архитекторами, живописцами, гражданскими и военными инженерами, были и купцами; бурное развитие больших и могущественных торговых городов вдохновляло их деятельность. Ранний меркантилизм дал нам не только новую теорию алгебраических уравнений, но и новую науку о перспективе.

Часто мы вынуждены ограничиваться только историей идей, в частности, при рассмотрении эпох, когда трудно собрать или истолковать данные социальноэкономического характера, как в случае древней Индии. Однако мы можем утверждать, что, вообще говоря, важные направления математического творчества (или отсутствие такового) можно понять только в связи, косвенной или непосредственной, с социальноэкономическими условиями. Такой гений, как Ньютон, может прокладывать новые пути в математике и механике только тогда, когда есть в обществе классы, готовые поддерживать и ободрять его, готовые создать ему условия для работы и для того, чтобы быть услышанным. Характер греческой математики, как доэллинистической, так и эллинистической, можно понять только при условии учета того, каким было древнее средиземноморское общество — общество, где благодаря рабству мог существовать класс располагавших досугом людей,— причем в восточных областях существовал контакт с общественными формами, основанными на

ирригационном земледелии. Столь же верно, что возникновение в семнадцатом столетии современной математики можно понять лишь с учетом того, что в то время в экономической жизни Западной Европы капиталистические общественные формы начинают брать верх над отступающим феодализмом. Такие же обстоятельства надо учитывать, если мы пытаемся найти ответ на вопрос, почему Китай, где многие столетия наука и техника развивались на уровне Европы или превосходя его, не принял участия в революции Галилея — Декарта,— проблема, которой много занимался Нидхем (Needham). Понимание природы современного капиталистического, а теперь и социалистического промышленного общества необходимо, чтобы уяснить себе направление, в котором математика развивалась за последние сто пятьдесят лет. Влияние общественноэкономических факторов на это развитие обычно не было непосредственным. Факторы эти влияли чаще через физику, географию, навигацию или даже архитектуру, живопись, религию и философию. Важные математические исследования редко бывают прямым результатом общественного воздействия, в них нет ничего утилитарного. Харди (G.Н. Hardy) както заметил, что «настоящая» математика «настоящих» математиков, математика Ферма и Эйлера, математика Гаусса, Абеля и Римана почти полностью «бесполезна» с точки зрения практического использования. Но суть дела не в этом (хотя удивительно много из этой «бесполезной» математики прошлого стало практически «полезным» в наш век вычислений, космических полетов, автоматизации и вообще научной технологии). Мы должны стараться понять, каким образом общество влияет на точные науки, и это часто значительно углубляет наше понимание направлений, господствующих в этих науках. Конечно, верно, что общество, в котором развиваются университеты, поддерживает форму научной деятельности, когда можно жить в мире собственных идей. Но этот мир идей является своеобразным выражением нужд или тенденций эпохи — достаточно вспомнить о том, как теория групп объединила несколько различных областей математики, ранее развивавшихся почти независимо. Подобное явление в области чистой мысли было следствием огромного объема геометрических исследований в годы, последовавшие за французской революцией, и связанного с этим революционизирования математической мысли. Роль Гаусса в математике можно сравнить с ролью Ге

геля в философии, Бетховена в музыке, Гёте в литературе. А разве Галуа не был воистину сыном французской революции?

Весьма поучительный пример того, как нематематические факторы стимулируют математические изыскания, Представляют поиски метода определения долготы судна, длившиеся три столетия, начиная с путешествий Васко да Гама и Колумба. В период воинствующего меркантилизма эти поиски преследовали вполне практическую цель — обеспечить безопасность океанских плаваний. Правительства, академии и частные лица поощряли занятия проблемой определения долгот почестями, пожертвованиями и премиями. Одним из мотивов при создании Лондонского Королевского общества и Парижской академии наук была необходимость решить эту насущную проблему. В поисках ее решений были усовершенствованы навигационные приборы и часы, исследовано движение Луны и спутников Юпитера. Математика выиграла при этом благодаря исследованиям Гюйгенса о маятниковых часах и Ньютона о задаче двух тел (напомним об очерке Б. Гессена о Ньютоне, 1931г.). В свою очередь труды Ньютона привели Эйлера к исследованию движения Луны как одного из случаев задачи трех тел. Нужды картографии вызвали к жизни математические теории Меркатора и Ламберта. Гук, экспериментируя с пружинными стопорами, заложил основы теории упругости, а Галлей, проводя опыты в Атлантике, стал основателем теории земного магнетизма. Все эти исследования по картографии, навигации, механике и астрономии оплодотворили математику этой эпохи, в частности анализ. Это влияние было и непосредственным, и опосредствованным: механистическая философия тех дней охотно пользовалась часами как моделью вселенной и рассматривала математику, как ключ к постижению своих проблем. Как известно, проблема долгот была в конце концов решена, когда изобрели хронометр и создали удовлетворительную теорию Луны.

Однако никогда мы не должны забывать, что сами идеи способны порождать новые идеи. Немало математических открытий было сделано в области отвлеченной мысли, когда какойнибудь мыслитель оказывал влияние на своих коллег или учеников. В том, что математику описывают как постепенное развитие идей, то непрерывное, то скачкообразное, есть большая доля истины. Обозначения тоже имеют определенное значение: замена




прежних обозначений лучшими создает новую форму для создания новых идей. Хотя историки математики не пользуются гегелевской терминологией, развитие математики вполне можно описать в терминах Гегеля: сложение положительных целых чисел отрицается в вычитании, а оно в свою очередь отрицается на высшем уровне арифметики, когда вводятся как положительные, так и отрицательные числа. Можно пользоваться, описывая математические открытия, такими терминами диалектики, как «объективизация» и «отчуждение», хотя я не советовал бы это делать. Таким образом можно превратить историю математики, рассматриваемую только как история идей, в новую и специализированную «феноменологию духа», в феноменологию ума, и компетентный автор смог бы воздвигнуть своими руками великолепный дворец мысли. «Философия математики» Германа Вейля иногда напоминает мне такую феноменологию, будучи сходна с гегелевской и в отдельных уступках материалистическому мировоззрению.

Все же такой подход к истории математики, при всей своей привлекательности, остается односторонним, а порой даже дезориентирует. Мы должны всегда помнить, что математические понятия — не произвольные творения ума, а отражение реального, объективного мира, пусть часто в весьма абстрактном виде. Это объясняет, почему математики различных эпох могли понимать друг друга, почему теоретическая математика может стать прикладной математикой и почему прикладная математика может выражать законы механики, физики, даже законы некоторых областей биологии и экономической науки. Это объясняет также, почему возможна материалистическая диалектика математики, на что указывал Фридрих Энгельс. Поэтому историк математики должен действовать осмотрительно, учитывая свободу математического творчества в создании своих собственных понятий и в то же время сознавая, что эти понятия могут иметь ценность в ходе дальнейшего развития математики лишь при условии, что они выражают какуюто зависимость, какуюто закономерность реального мира, мира чувственных восприятий, в котором человек живет как существо общественное.

Позволю себе закончить это введение замечанием другого рода. Преподавание истории математики окажется пустой тратой времени, если студенты из-за языковых трудностей не смогут читать тексты в оригинале, оказав

шись в полной зависимости от того, что узнают из вторых илп третьих рук. Это все равно что изучать историю английской литературы, не будучи в состоянии читать Шекспира, или историю русской литературы, не читая Пушкина. Это является помехой особенно в Соединенных Штатах, где студентам часто трудно читать на какомлибо языке, кроме английского, но такие трудности должны быть и в других странах, особенно когда дело доходит до латинских текстов. Греческие математики не причиняют затруднений, так как главные авторы — Евклид, Архимед, Диофант — имеются в превосходных переводах на многие языки, хотя и здесь есть существенные пробелы (например, повидимому, нет английского перевода Паппа). Такое затруднение можно преодолеть лишь при услввии, что все большее число классиков таких, как Кеплер, Лейбниц, Эйлер, Лагранж, будет доступно в дешевых изданиях их переводов с необходимыми комментариями. Такую работу надо вести систематически, а не от случая к случаю, в зависимости от прихоти того или иного переводчика. Тем временем известную помощь может оказать собрание текстов, доступных в переводах. Мною уже был опубликован список переводов на английский язык (Scripta Mathematica.— 1949.— V. 15.— P. 115—131), и список этот убедительно показывает, насколько несистематически ведется эта работа.

Я признателен профессору А. П. Юшкевичу за его интерес к моей работе, что содействовало ее переводу на русский язык. Ценность этой книги возросла благодаря добавлению сведений по истории математики в России.


Д. Стройк


Массачусетский технологический институт

Кембридж, штат Массачусетс

17 декабря 1962 г.

^ ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К НЕМЕЦКОМУ ИЗДАНИЮ


Математика — широкое поприще идей, и ее история знакомит нас с некоторыми из благороднейших помыслов неисчислимых поколений. Можно было сжать эту историю до объема книги меньше, чем в триста страниц, только подчиняясь суровому требованию — давать очерк развития немногих основных идей и сводить к минимуму описание других направлений. Биографии сведены к наброскам, многие достаточно важные авторы, например Гоберваль, Ламберт, Шварц, опущены. Но, быть может, наибольший ущерб причинен неполнотой описания общей культурной и общественной атмосферы, в которой формировалось (или затухало) развитие математики в ту или иную эпоху. На математику оказывали влияние земледелие, торговля и промышленность, военное дело, инженерное дело и философия, физика и астрономия. Влияние гидродинамики на теорию функций, влияние кантианства и землемерия на геометрию, электромагнетизма — на теорию дифференциальных уравнений, картезианства — на механику и схоластики — на математический анализ — обо всем этом можно было сказать лишь несколько фраз или, пожалуй, несколько слов. Между тем добиться понимания хода развития и содержания математики можно лишь при учете всех этих определяющих факторов. Ссылка на литературу нередко заменяет исторический анализ. И наша история заканчивается 1900-м годом, так как современная математика — настолько многосторонняя наука, что невозможно — по крайней мере для автора этой книги — дать компетентную оценку хотя бы ее основных направлений1).


') См в связи с этим Weyl H. A. Halfcentury of Malhematics / Amer. Math. Monthly.—1951.—V. 58.—P. 523—553.

Все же я надеюсь, что, несмотря на такие ограничения удалось дать вполне добросовестное описание главных направлений, по которым в течение веков шло развитие математики, и тех общественных и культурных условий, в которых оно происходило. Конечно, отбор материала не был обусловлен только объективными факторами — сказывались симпатии и антипатии автора, степень его осведомленности.

Что касается последнего, надо сказать, что не всегда автор мог непосредственно опираться на источники, слишком часто приходилось пользоваться источниками из вторых и даже третьих рук. Поэтому следует посоветовать (что относится не только к этой книге, но и ко всем исследованиям такого рода) по возможности проверять утверждения автора, обращаясь к оригиналам. По многим причинам это является правильным положением. При изучении таких авторов, как Евклид, Диофант, Декарт, Лаплас, Гаусс или Риман, не следует ограничиваться только цитатами из исторических книг, в которых описаны их труды. В подлинниках Евклида и Гаусса содержится такая же живительная сила, как и в подлинниках Шекспира; у Архимеда, у Ферма, у Якоби можно найти столь же великолепные места, как у Горация или Эмерсона ').

В число положений, которыми руководствовался автор при изложении материала, входили следующие четыре:

1. Подчеркивать связи и родство восточных цивилизаций, а не исходить из механического разбиения на египетскую, вавилонскую, китайскую, индийскую и арабскую культуры.

2. Проводить различие между установленными фактами, гипотезами и преданиями, особенно в греческой математике.

3. Связать два течения в математике Возрождения, арифметикоалгебраическое и «флюкционное», с торговыми и техническими запросами эпохи соответственно.

4. Строить изложение математики девятнадцатого столетия больше по лицам и школам, чем по предметам. (Здесь в качестве основного руководства можно было принять книгу Клейна «Лекции о развитии математики в XIX столетии».) Изложение по отдельным дисциплинам дают книги Кеджори и Белла, а с большим числом тех


1) Эмерсон Ралф Уолдо (1803—1882) — известный американский критик, поэт и моралист.

нических подробностей — немецкая «Энциклопедия математических наук» (Enzyklopadie der mathematischen Wissenschaften, 24 тома, Лейпциг, 1898—1935) и Repertorium der hoheren Analysis (5 томов, Лейпциг, 1910—1929) Паскаля (Pascal).

Автор выражает свою благодарность О. Нейгебауеру, который охотно согласился прочесть первые главы книги, что дало возможность во многих местах улучшить изложение. Профессору А. П. Юшкевичу автор обязан многими улучшениями при изложении науки стран ислама.

Во втором английском издании исправлены многие опечатки и ошибки, имевшиеся в первом издании. Автор благодарен Р. Арчибалду (R. С. Archibald), Э. Дейкстерхойсу (Е. J. Dijksterhuis), С. Иоффе (S. A. Joffe) и другим читателям книги, благодаря вниманию которых эти погрешности были обнаружены. В немецкое издание были внесены новые исправления.


Д. Стройк

^ ВВОДНЫЙ ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ


Ниже приводится список ряда важнейших книг по истории, математики в целом. В этом списке не нуждаются те читатели, которые могут воспользоваться книгой Sarton G. The Study of the History of Mathematics.— Cambridge, 1936, содержащей не только интересное введение в наш предмет, по и полную библиографию. Данные о более поздней литературе можно найти в соответствующих отделах реферативных журналов по математике: Jahrbuch iiber die Fortschritte der gesamten Malhematik (нем.), Mathematical Reviews (амер.), Zentralblatt ftir Mathemalik (нем.) и реферативный журнал «Математика» (изд. Института научной информации АН СССР, с 1953 г.).

Работы советских ученых по истории математики приведены в библиографических указателях: История естествознания. Литература, опубликованная в СССР (1917—1947).— М., 1949; История естествознания. Литература, опубликованная в СССР (1948— 1958).— М., 1955. Полезна также книга Библиографические источники по математике и механике, изданные в СССР за 1917—1952 гг.—М.; Л., 1957. Кроме того, см. Зубов В.П. Историография естественных наук в России.— М., 1956.

Книги на английском языке:

Archibald R. С. Outline of the History of Mathematics.— 6th ed.— Amer. Math. Montrly.— Jan. 1949.— № 561.

Эта книга в 114 с. дает прекрасный очерк истории математики и содержит много библиографических указаний.

Cajori F. A. History of Mathematics.—2nd ed.— N. Y., 1938. Это образцовая книга в 514 с.

Smith D. Е. History of Mathematics. V. I.— Boston, 1923. V. II. Boston, 1925.

Автор книги ограничился в основном изложением истории элементарной математики, но приводит данные о всех выдающихся математиках и многочисленные иллюстрации, новые издания— 1951 — 1953, 1958.

Bell E. Т. Men of Mathematics.—N. Y., 1937.

Bell E. T. The Development of Mathematics.—2nd ed.—N. Y.; London, 1945.

Эти две книги содержат обширный материал как о математиках, так и об их достижениях. Вторая книга посвящена главным образом математике XIX—XX вв.

Scott J. F. A History of Mathematics from Antiquity to the Beginning of the Nineteenth Century.— London, 1958.

Тurnbull H. W. The Great Mathematicians.— London. 1929. Новое изд. N. Y., 1961.

Преимущественно элементарная математика рассматривается в книгах:

Sanford V. A. Short History of Mathematics.— Boston, 1930.

Rouse Ball W. VV. A Short Account of the History of Mathematics.— 6th ed.— London, 1915; переиздана в 1960 г.

Хорошо написанная, но устаревшая книга.

Eves H. An Introduction to the History of Mathematics.N. Y., 1953.

Интересный материал собран в книге Сajогi F.A. History of Mathematical Notations. V. I.— Chicago, 1928. V. II. Chicago, 1929.

Образцовой книгой по истории математики все еще остается

Cantor M. Vorlesungen fiber Geschichte der Mathematik.— Bd 1—4.— Leipzig, 1900–1908.

Эта работа большого масштаба (четвертый том написан группой специалистов под общим руководством М. Кантора) охватывает историю математики до 1799 г. Во многих местах она устарела, особенно в разделах об античной математике, во многих частностях она ошибочна, но, как и раньше, она хороша для первой ориентировки.

Поправки к ней Эиестрема (G. Enestrom) и др. публиковались в журнале Bibliotheca Mathematica.

Другие книги на немецком языке:

Zeuthen H. G. Geschichle der Mathematik im Alterlum und Mittelalter.— Kopenhagen, 1896 (французское издание — Paris, 1902; первое датское издание вышло в

1893 г., в 1949 г. появилось второе датское издание, переработанное О. Нейгебауером, русский перевод (с нем. издания): Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века.— 2е изд.— М.; Л.: ГОНТИ, 1938).

Zeuthen H. G. Geschichte der Mathematik im 16 und 17. Jahrhundert.—Leipzig, 1903; русский перевод: Цейт.ен Г. Г. История математики в XVI и XVII столетиях. 2-е изд. М.; Л.: ГОНТИ, 1938.

Giinther S., Wieleitner H. Geschichte der Mathematik.— Bd 1—2 (первый том написан Гюнтером, издано Вилейтнером).— Berlin, 1939. Написанная Вилейтнером часть вошла в русское издание: Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия.— М.: Физматгиз, 1960. 2е изд.— М.: Наука, 1966.

Tropfke J. Geschichte der Elmentarmathematik.— 2 Aufl. Bd 1–7. Leipzig, 1921-1924. 3 Aufl.— Bd 1 — 4. Leipzig, 1930-1940.

Первая часть первого тома переведена на русский язык: Тропфке И. Арифметика.— М., 1914.

В издание: Die Kultur der Gegenwart III, I.— Leipzig; Berlin, 1912 вошли работы:

Zeuthen H. G. Die Mathematik im Altertum und im Mittelalter; Voss A. Die Beziehungen der Mathematik zur allgemeinen Kultur; Timerding H. E. Verbreitung mathematischen Wissens und mathematischer Auffassung.

Becker O., Hofmann J. E. Geschichte der Mathematik.— Bonn, 1951.

Hofmann J. E. Geschichte der Mathematik.— Bd 1— 3.— Собрание Goschen.— Bd 226, 875, 882, Berlin, 1953— 1957.

Эти книги содержат подробный указатель литературы.

Becker О. Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung.— Freiburg; Miinchen, 1954.

Немецкий перевод книги А. П. Юшкевича (см. ниже) является ее вторым, улучшенным изданием.

Старейшая книга по истории математики на французском языке

Montucla J. E. Historie des mathematiques.— T. 1— 4.— Paris, 1799—1802. Первое издание, в двух томах, появилось в 1758 г. Труд, где рассматривается прикладная математика, и сейчас представляет интерес.

Весьма интересна книга, выпущенная под коллективным псевдонимом группы современных математиков,

Bourbaki, Nicolas. Elements d'histoire des mathematiques.— Paris, 1961.

Всю историю математики охватывают соответствующие главы большого коллективного труда

Hisloire generale des Sciences.— Т. 1—3.— Paris, 1960—1964, под общей редакцией профессора Татона (R. Taton).

Укажем также:

D'Oсagne M. Histoire abregee des Sciences mathematiques/Ouvrage recueilli et acheve par R. Dugas.— Paris, 1952.

Книга дает краткие очерки об ученых. Dedron I., Itard J. Mathematiques et mathematiciens.— Paris, 1919.

На итальянском языке есть хорошая книга: Loria G. Storia delle mathematiche.— T. 1—3.— Torino, 1929—1933. См. также Bortolotti E. Storia della matematica elementare.— T. 3.— Milano, 1950.— P. 2. . Кроме того, укажем:

Caruccio E. Mathematica e logica nella storia e nel pensiero contemporaneo.— Torino, 1958.

Книги на русском языке:

Кольман Э. Я. История математики в древности.— М.; Физматгиз, 1961.

Юшкевич А. П. История математики в средние века.— М.: Физматгиз, 1961.

Рыбников К. А. История математики.— Т. I.— М., 1960. Т. II.— М., 1963.

Шереметьевский В. П. Очерки по истории математики.— М., 1940.

Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России.— М.; Л.: Гостехиздат, 1946.

Юшкевич А. П. История математики в России до 1917 г.— М.: Наука, 1968.

Б у р б а к и Н. Очррки по истории математики/Перевод с франц. И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова, М.: ИЛ, 1963.

История отечественной математики /Отв. ред. И. 3. Штокало. Т. I.— Киев, 1966. Т. П.— Киев, 1967. Т. III.— Киев, 1968. Т. IV (в двух книгах).— Киев, 1970. В первых двух томах изложение доведено до 1917 г., третий и четвертый тома посвящены советскому периоду. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия/Под ред. А. П. Юшкевича, Т. I: С древнейших времен до начала нового времени.— М.: Наука,

1970. Т. II: Математика XVII столетия.— М.: Наука, 1970 Т. III: Математика XVIII столетия.— М.: Наука, 1970.

Имеются также историко-математические антологии;

Smith D. E. A Source Book iu Mathematics.—N. Y., 1929.

Wieleitner A. Mathemalische Quellenbucher.— Bd 1—4.— Berlin, 1927—1929; русский перевод; Вилейтнер Г. Хрестоматия по истории математики, составленная по первоисточникам, вып. 1—4.— М.; Л.: ГТТИ, 1932. 2е изд. М.; Л.: ОНТИ, 1935.

Speiser A. Klassische Sliicke dor Malhematik.— Zurich; Leipzig, 1925.

Newmann I. R. The World of Mathematics.— V. 1— 4. N. Y., 1956.

Это сборник очерков о математике и о математиках.

Полезна также книга:

Callandier E. Celebres problemes mathematiques.— Paris, 1949.

Имеются также книги по истории отдельных дисциплин. Мы укажем следующие работы.

Dickson L. E. History of the Theory of Numbers.— V. 13.Washington, 19191927.

Muir T. The Theory of Determinants in the Historical Order of Development.—V. 1—4.—London, 1906—1923; Contributions to the History of Determinants 1900—1920.— London, 1930.

von Braunmuhl A. Vorlesungen uber Geschichte der Trigonomentrie. Bd 1.— Leipzig, 1900. Bd 2,— Leipzig, 1903.

Dantzig T. Number, The Language of Science.— 3rd ed.—N. Y., 1943.

Coolidge J. L. A History of Geometrical Methods.— Oxford. 1940.

Loria G. II passato e il presente delle principal! teorie geometriche.— 4 ed.— Torino, 1931.

Loria G. Storia della geometria descrittiva delle origine sino ai giorni nostri.— Milano, 1921.

Loria G. Curve piani special! algebriche e transcendenti.— T. 1—2.— Milano, 1930; нем. изд., Bd 1.— Leipzig, 1910; Bd 2. Leipzig, 1911.

Cajori F. A History of Mathematical Notations. V. 1.— Chicago, 1928. V. 2.— Chicago, 1929.

Karpinski L. C. The History of Arithmetic. — Chicago, 1925.

Walker H. W. Studies in the History of Statistical Methods.— Baltimore, 1929.

Reiff R. Geschichte der unendlichen Reihen,— Tubingen, 1889.

Todhunter I. History of the Progress of the Calculus of Variations during the Nineteenth Century.— Cambridge, 1861.

Todhunter I. History of the Mathematical Theory of Probability from the Time of Pascal to that of Laplace.— Cambridge, 1865.

Todhunter I. History of the Mathematical Theory of Attraction and the Figure of Earth from the Time of Newton to that of Laplace.— London, 1873.

Coolidge J. L. The Mathematics of Great Amateurs.— Oxford, 1949.

Archibald R. C. Mathematical Tables Makers.— N. Y., 1948.

Dugas R. Histoire de la mecanigue.—Neufchatel, 1950.

Воуer C. History of Analytic Geometry.— N. Y., 1956.

Воуer C. History of the Calculus and its Conceptual Development.— N. Y., 1949, 1959.

Beth E. W. Geschiedenis der logica.— Haag, 1944.

Из книг на русском языке по истории отдельных дисциплин укажем:

Тимченко И. Ю. Основания теории аналитических функций, ч. I: Исторические сведения о развитии понятий и методов, лежащих в основании теории аналитических функций.— Одесса, 1899; также в «Записках матем. отделения Новороссийского общества естествоисп.»— Одесса, 1892. Т. 12; 1896. Т. 16; 1899. Т. 19.

В этой книге собран огромный материал по истории развития основных понятий анализа.

Каган В. Ф. Исторический очерк развития учения об основаниях геометрии.— Одесса, 1907; также в «Записках Новороссийского университета».— Одесса, 1907.— Т. 108 и 109. Каган В. Ф. Основания геометрии, ч. I.— М.; Л.: Гостехиздат, 1949.

Васильев А. В. Целое число. Исторический очерк.— Пг., 1919, 1922.

Кеджори Ф. История элементарной математики/ Перевод с англ, и дополнения И. Ю. Тимченко.— 2е изд.— Одесса, 1917.

Беллюстин В. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики.— М., 1940.

Маркушевич А. И,. Очерки по истории теории аналитических функций.— М.; Л.: Гостехиздат, 1951.

Деимаи И. Я. История арифметики.— М., 1959.

Медведев Ф. А. Развитие теории множесгв в XIXвеке. М., 1965.

Паплаускас А. Б. Тригонометрические ряды от Эйлера до Лебега.— М., 1966.

Песин И. Н. Развитие понятия интеграла.— М.,1966.

Майстров Л. Е. Теория вероятностей. Исторический очерк.— М., 1967.

См. также литературу в конце каждой главы.

История математики излагается и в книгах по общей истории науки. Образцовым трудом является Sarton G. Introduction to the History of Science.— V. 1—5.— Washington; Baltimore, 1927—1948.

Изложение доведено до четырнадцатого столетия. В нашей книге транскрипция греческих и восточных имен дается, в основном, по Сартону.

Дополнением к пяти томам Сартона является книга Sarton G. The Study of the History of Science, with an Introductory Bibliography.— Cambridge, 1936').

Хорошая книга для школ:

Sedgwick W. Г., Tyler H. W. A Short History of Science. 2nd ed N. Y., 1939.

Влияние математики на культуру рассматривается в книге: Kline M. Mathematics in Western Culture.— N. Y., 1953.

Полезны также десять статей Миллера (G. A. Miller) : A first Lesson in the History of Mathematics, A second Lesson и т. д. в «National Mathematics Magazine», (с 1939. V. 13 до 1945. V. 19).

Периодические издания по истории математики или по истории естествознания в целом и т. п.:

Bibliotheca mathemalica, серии 1—3 (1884—1914).

Scripta mathematica (с 1932).

Isis (с 1913).

Revue d'histoire des sciences (c 1947).

Archives internationales d'histoire des sciences (c 1947).

Centaurus (c 1950).

NTM. Z. f. Geschichte der Naturwissenschaften, Technik und Medizin (c 1960).


') См. также книгу Сартона, указанную на с. 13.

Archiv fur Geschichte der Mathematik, der Naturwisscnschaflen und der Technik (1909—1931).

Physis (c 1959).

Archive for History of Exact Sciences (c 1960).

Mitteilungen zur Geschichte der Medizin, Naturwissenschaft und Technik (Referatenorgan, с 1961).

Вопросы истории естествознания и техники (с 1956),

Историко-математические исследования (с 1948).

См. также Труды Института истории естествознания АН СССР, тт. I—IV, 1947—1952, и продолжение этого издания под названием Труды Института истории естествознания и техники АН СССР, 1954—1962 (по истории физикоматематических наук, т. 1, 5, 10, 15, 17, 19, 22, 28, 34, 43).



Глава I

НАЧАЛО


1. Наши первоначальные представления о числе и форме относятся к очень отдаленной эпохе древнего каменного века — палеолита. В течение сотен тысячелетий этого периода люди жили в пещерах, в условиях, мало отличавшихся от жизни животных, и их энергия уходила преимущественно на добывание пищи простейшим способом — собиранием ее, где только это было возможно. Люди изготовляли орудия для охоты и рыболовства, вырабатывали язык для общения друг с другом, а в эпоху позднего палеолита украшали свое существование, создавая произведения искусства, статуэтки и рисунки. Возможно, рисунки в пещерах Франции и Испании (давности порядка 15 тысяч лет) имели ритуальное значение, но несомненно в них обнаруживается замечательное чувство формы.

Пока не произошел переход от простого собирания пищи к активному ее производству, от охоты и рыболовства к земледелию, люди мало продвинулись в понимании числовых величин и пространственных отношений. Лишь с наступлением этого фундаментального перелома, переворота, когда пассивное отношение человека к природе сменилось активным, мы вступаем в новый каменный век, в неолит.

Это великое событие в истории человечества произошло примерно десять тысяч лет тому назад, когда ледяной покров в Европе и Азии начал таять и уступать место лесам и пустыням. Постепенно прекращались кочевые странствия в поисках пищи. Рыболовы и охотники все больше вытеснялись первобытными земледельцами. Такие земледельцы, оставаясь на одном месте, пока почва сохраняла плодородие, строили жилища, рассчитанный на более долгие сроки. Стали возникать деревни для защитй от непогоды и от врагов-хищников. Немало таких нео

литических поселений раскопано. По их остаткам видно, как постепенно развивались такие простейшие ремесла, нак гончарное, ткацкое и плотничье. Существовали житницы, так что население могло, производя излишки, запасать продукты на зиму и на случай неурожая. Выпекали хлеб, варили пиво, в эпоху позднего неолита плавили и обрабатывали медь и бронзу. Совершались открытия, были изобретены гончарный круг и тележное колесо, совершенствовались лодки и жилища. Все эти замечательные новшества возникали лишь в пределах той или иной зоны и не всегда распространялись вне ее. Например, американские индейцы узнали о существовании тележного колеса лишь после прихода белых. Тем ие менее теми технического прогресса в колоссальной мере ускорился по сравнению с древним каменным веком.

Деревни вели между собой значительную торговлю, которая настолько развилась, что можно проследить наличие торговых связей между областями, удаленными на сотни километров друг от друга. Эту коммерческую деятельность сильно стимулировали открытие техники выплавки меди и бронзы и изготовление сначала медных, а затем бронзовых орудий и оружия. Это в свою очередь содействовало дальнейшему формированию языков. Слова этих языков выражали вполне конкретные вещи и весьма немногочисленные абстрактные понятия, но языки уже имели известный запас слов для простых числовых терминов и для некоторых пространственных образов. На таком уровне находились многие племена в Австралии, Америке и Африке, когда они впервые встретились с белыми людьми, а некоторые племена и сейчас живут в таких условиях, так что есть возможность изучить их обычаи и способы выражения мыслей.

2. Числовые термины, выражающие некоторые из «наиболее абстрактных понятий, какие в состоянии создать человеческий ум», как сказал Адам Смит, медленно входили в употребление. Впервые они появляются скорее как качественные, чем количественные термины, выражая различие лишь между одним (или, вернее, «какимто»— «какойто» скорее, чем «один человек») и двумя и многими. Древнее качественное происхождение числовых понятий и сейчас еще выявляется в тех особых двоичных терминах, которые имеются в некоторых языках, как, например, в греческом и кельтском. С расширением понятия числа большие числа сначала образовывались с

помощью сложения: 3 путем сложения 2 и 1, 4 путем сложения 2 и 2, 5 путем сложения 2 и 3.

Вот примеры счета некоторых австралийских племен:

Племя реки Муррей: 1 = энэа, 2 = петчевал, 3 = петчевалэнэа, 4 = петчевалпетчевал.

Камиларои: 1 = мал, 2 = булан, 3 = гулиба, 4 = буланбулан, 5 = булангулиба, 6 = гулибагулиба').

Развитие ремесла и торговли содействовало кристаллизации понятия числа. Числа группировали и объединяли в большие единицы, обычно пользуясь пальцами одной руки или обеих рук — обычный в торговле прием. Это вело к счету сначала с основанием пять, потом с основанием десять, который дополнялся сложением, а иногда вычитанием, так что двенадцать воспринималось как 10+2, а девять — как 10 — 12). Иногда за основу принимали 20 — число пальцев на руках и ногах. Из 307 систем счисления первобытных американских народов, исследованных Илсом (W. С. Eels), 146 были десятичными, 106 — пятичными и пятичнымидесятичными, остальные — двадцатичными и пятичнодвадцатнчными. В наиболее характерной форме система с основанием двадцать существовала у майя в Мексике и у кельтов в Европе. Числовые записи велись с помощью пучков, зарубок на палках, узлов на веревках, камешков или ракушек, сложенных по пять в кучки,— приемами, весьма схожими с теми, к каким в давние времена прибегал хозяин постоялого двора, пользовавшийся бирками. Для перехода от таких приемов к специальным символам для 5, 10, 20 и т. д. надо было сделать лишь один шаг, и именно такие символы мы обнаруживаем в пользовании в начале писанной истории, на так называемой заре цивилизации.

Древнейший пример пользования бирками приходится на эпоху палеолита. Это — обнаруженная в 1937 г. в Вестонице (Моравия) лучевая кость молодого волка длиной около 17 сантиметров с 55 глубокими зарубками. Первые двадцать пять зарубок размещены группами по пять, за ними идет зарубка двойной длины, заканчивающая этот ряд, а затем с новой зарубки двойной длины


') Con ant L. The Number Concept.—N. Y., 1896.—P. 106— 107, с многими подобными примерами; см. также статью И. Г. Башмаковой и А. П. Юшкевича, указанную в библиографии в конце этой главы.

2) Eels W. С. Number Systems of North American Indians // Amer. Math. Monthly— 1913.— V. 20.— P. 293.

начинается новый ряд из зарубок1). Итак, очевидно, что неправильно старое утверждение, которое мы находим у Якоба Гримма и которое часто повторяли, будто счет возник как счет на пальцах. Пальцевый счет, то есть счет пятками и десятками, возник только на известной ступени общественного развития. Но раз до этого дошли, появилась возможность выражать числа в системе счисления, что позволяло образовывать большие числа. Так возникла примитивная разновидность арифметики. Четырнадцать выражали как 10 + 4, иногда как 15 — 1. Умножение зародилось тогда, когда 20 выразили не как 10 + + 10, а как 2 X 10. Подобные двоичные действия выполнялись в течение тысячелетий, представляя собой нечто среднее между сложением и умножением, в частности в Египте и в доарийской культуре МохенджоДаро на Инде. Деление началось с того, что 10 стали выражать как «половину тела», хотя сознательное применение дробей оставалось крайне редким явлением. Например, у североамериканских племен известны только немногие случаи применения дробей, и почти всегда это только дробь ½, хотя иногда встречаются 1/3 и ¼ 2).

Любопытно, что увлекались очень большими числами, к чему, может быть, побуждало общечеловеческое желание преувеличить численность стада или убитых врагов; пережитки такого уклона заметны в библии и в других религиозных книгах.


[i] Происхождение и развитие счета вообще, систем счисления в частности, и связанное с этим развитие понятия натурального числа изложены Д. Стройном крайне кратко. Большой этнографический, археологический и филологический материал, который приходится привлекать при таких исследованиях, не позволяет дать вполне определенные ответы на все вопросы, но некоторые этапы


') Isis, 1938 —V. 28.—Р. 462—463; взято из London News IHustr. от 2.Х 1937. [См. также данные о предметах, найденных при раскопках палеолитической стоянки в Меяине (Черниговской области УССР), в книге: История отечественной математики, т. 1, с. 40.— Примеч. пер ]

2) Миллер (G. A. Miller) обратил внимание на то, что слова one half, semis, moitie, обозначающие (в английском, латинском, французском языках) половину, не имеют прямой связи со словами тех же языков, означающими 2 (two, duo, deux), в отличие 1/3, ¼, ...(англ.: one third, one fourth, ...); это, видимо, указывает на то, что понятие ½ возникло независимо от понятия целого числа. См. Nat. Math. Magazine, 1939.—V. 13.—P. 272, 24

и некоторые общие черты в развитии техники счета и понятия числа можно установить с высокой степенью достоверности. На русском языке этот круг проблем наиболее обстоятельно и вместе с тем компактно освещен в статье И. Г. Башмаковой и А. П. Юшкевича (см. библиографию в конце главы I). Интересные данные, указывающие па более раннее развитие числовых представлений (чем до сих пор предполагалось), собраны в статье: Фролов Б. А. Применение счета в палеолите и вопрос об истоках математики // Изв. СО АН СССР, сер. общ. наук.— 1965.— № 9, вып. 3.


3. Возникла и необходимость измерять длину и емкость предметов. Единицы измерения были грубы, п при этом часто исходили из размеров человеческого тела. Об этом нам напоминают такие единицы, как палец, фут (то есть ступня), локоть. Когда начали строить дома такие, как у земледельцев Индии или обитателей свайных построек Центральной Европы, стали вырабатываться правила, как строить по прямым линиям и под прямым углом. Английское слово «straight» (прямой) родственно глаголу «stretch» (натягивать), что указывает на использование веревки1). Английское слово «line» (линия) родственно слову «linen» (полотно), что указывает на связь между ткацким ремеслом и зарождением геометрии. Таков был один из путей, по которому шло развитие математических интересов.

Человек неолита обладал также острым чувством геометрической формы. Обжиг и раскраска глиняных сосудов, изготовление камышовых циновок, корзин и тканей, позже — обработка металлов вырабатывали представление о плоскостных и пространственных соотношениях. Должны были сыграть свою роль и танцевальные фигуры. Неолитические орнаменты радовали глаз, выявляя равенство, симметрию и подобие фигур. В этих фигурах могут проявляться и числовые соотношения, как в некоторых Доисторических орнаментах, изображающих треугольные числа; в других орнаментах мы обнаруживаем «священные» числа. Такого рода орнаменты оставались в ходу и в исторические времена. Прекрасные образцы мы виДим на дипилоновых вазах минойского и раннегреческого периода, позже — в византийской и арабской мозаике, в персидских и китайских коврах. Первоначально ранние орнаменты, возможно, имели религиозное или магическое


') Во многих странах людей, занимавшихся межеванием, называли «натягивателями веревки» (греческое «harpenodaptai», арабское «massah», ассирийское «masihanu»). См. Gandz S.— Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik.—1930.— Bd 1.— S. 255—277.

Этот орнамент встречается па иео литическоп керамике из Боснии и на предметах искусства древней Месопотамии

значение, но постепенно преобладающим стало их эстетическое назначение.

В религии каменного века мы можем уловить первые попытки вступить в борьбу с силами природы. Религиозные обряды были насквозь пронизаны магией, магический элемент входил в состав существовавших тогда числовых и геометрических представлений, проявляясь также в скульптуре, музыке, рисунке.

Существовали магические числа такие, как 3, 4, 7, и магические фигуры, как, например, пятиконечная звезда и свастика; некоторые авторы даже считают, что эта сторона математики была решающим фактором в ее развитии1), но, хотя общественные корчи математики в новейшие времена, быть может, стали менее за

frame3 frame4

метны, они вполне очевидны в раппем периоде истории человечества. Современная «нумерология»—пережиток магических обрядов, восходящих к неолитической, а может быть, даже к палеолитической эпохе.

[2] Работы, авторы которых стремятся доказать ритуальное происхождение счета и хеометрии, появляются и в наши дни. Эти работы примыкают к тем течениям в социологии, которые стремятся всячески выпятить значение религии в истории человеческой культуры Одна из последние исследований такого рода — статья А Зайденбер! а «Ритуальное происхождение счета» (S e i d e пberg A. The Ritual Origin of Counting.—Archive for History of Exact Sciences.— 1962.—V. 2, N 1). Автор прямо заявляет, что рассматривает свою работу как частичное выполнение программы лорда Раглапа: доказать, что вся цивилизация — ритуального про

') McGee W. J. Primitive Numbers.—Nineteenth Annual Report, Bureau Amer. Ethnology, 1897—1898 (1900).—P. 825—851.



Такие орнаменты были в ходу у жителей свайных построек близ Любляны (Югославия) Гальштатского периода (Центральная Европа, 1000—500 до н. э.)


исхождения '). По Зайденбергу, счет был изобретен при особых обстоятельствах в связи с созданием определенного ритуала. Но большое сходство в построении числительных и приемах счета у различных народов делает версию совершенно неправдоподобной (поскольку она связывает счет с весьма специфическими приемами), если не допустить, что счет был изобретен таким образом в какомто одном месте и уже оттуда распространился путем заимствования по всему миру. И. А. Зайдевберг не отступает перед этим выводом и в особой работе, напечатанной в «Математических



Эти прямоугольники, заполненные треугольниками, и треугольники с кружками воспроизведены с урн из захоронений вблизи Шопрона в Венгрии Мы видим здесь попытку образовать треуюльные числа, игравшие важную роль позже — в пифагорейской математике


сообщениях Калифорнийского университета» за 1960 г.2), пытается его доказать. Насколько невероятно то, что счет у всех народов общего происхождения, читатель может судить сам, если вспомнит о ра юбщеппости первобытных общин, о значительной неравномерности в развитии счета у различных народов, о наличии у одного и того же народа различных слов для обозначения одного и того же числа различных предметов и т. д.


4. Даже у самых отсталых племен мы находим какой-то отсчет времени и. следовательно, какието сведения о движении Солнца, Луны и звезд. Сведения этого рода впервые приобрели более научный характер, когда стали развиваться земледелие и торговля. Пользование лунным календарем относится к очень давней эпохе в истории


') Lord Raglan. How Came Civilisation.

2) University of California Mathematical Publications.— V. A3, N4

ч


Древнеегипетский глиняный сосуд

(додинастический период)
еловечества, так как изменение в ходе произрастания растений связывали с фазами Луны. Примитивные народы обратили внимание и на солнцестояние, и на восход Плеяд в сумерках. Самые древние цивилизованные народы относили астрономические сведения к наиболее отдаленному, доисторическому периоду своего существования. Другие первобытные народы пользовались при плавании созвездиями как ориентирами. Эта астрономия дала некоторые сведения о свойствах сферы, окружностей, об углах.

5. Эти краткие сведения из эпохи зарождения математики показывают, что наука в своем развитии не проходит обязательно все те этапы, из которых теперь складывается ее преподавание. Лишь недавно ученые обратили должное внимание на некоторые из древнейших известных человечеству геометрических фигур такие, как узлы или орнаменты. С другой стороны, некоторые более элементарные ветви нашей математики, как построение графиков или элементарная статика, сравнительно недавнего происхождения. А. Шпайзер заметил с известной едкостью: «За позднее происхождение элементарной математики говорит хотя бы то, что она явно склонна быть скучной,— свойство, видимо, ей присущее,— тогда как творческий математик всегда предпочтет заниматься задачами интересными и красивыми»1).


[3] Это суждение А. Шпайзера, известного как своими работаМи по теории групп, так и трудами по изданию полпого собрания сочинений Леонарда Эйлера, остроумно и парадоксально, но вряд ли можно его отстаивать всерьез И в книге по истории математики надо оговорить содержащиеся в нем погрешности против истории.

^ Что такое элементарная математика? Общепринятого определения нет, содержание этого понятия, несомненно, менялось. Если


') Sреiser A. Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung — Leipzig, 1925, N. Y., 1954.—P. 3.

к элементарной математике отнести материал, входящий в курс средней школы» (что тоже далеко не однозначно характеризует элементарную математику), то нетрудно убедиться в крайней разнородности отдельных ее частей. В арифметике, кроме обучения счету, мы встречаем решение задач с использованием приемов, большей частью достаточно давнего происхождения, и некоторый сведения из теории целых чисел, которые в большинстве восходят к античной математике. И геометрия до недавнего времени в течение столетий излагалась в основном по Евклиду. В алгебре и тригонометрии основной материал гораздо более недавнего происхождения, причем некоторые понятия и приемы (графики, функциональная зависимость) в значительной мере модернизованы. «Скучен» ли он? Для обучаемого это зависит от того, как ведется обучение, для обучащего — от того, есть ли тут возможность для творчества, не обязательно научного, а педагогического, методического. Многочисленные предложения реформы школьных программ, настойчивые попытки ввести в курс средней школы некоторые сведения из математического анализа, математической логики, теории вероятностей и т. п. показывают, что здесь есть немалое поле для интересной деятельности.

Элементарную математику пытались определять отрицательно, как часть математики, где не применяются такието (более сложные) методы и понятия, например, где не пользуются математическим анализом (дифференциальным и интегральным исчислением). Но при этом в элементарную математику попадут многие достаточно отвлеченные и трудные области, которые привлекали и привлекают творческих математиков и где есть немало «интересных и красивых задач»1), например значительная часть теории множеств, теории групп, математической логики. Нетрудно также привести примеры, когда так называемое элементарное доказательство того или иного положения находили позже и с большим трудом, чем неэлементарные.


ЛИТЕРАТУРА

Кроме уже упомянутых книг Конанта, Илса, Смита и Шпайзера, укажем еще:

Feltweis E. Das Rechen der Naturvolker.— Leipzig, 1927.

Menninger K. Zahlwort und Ziffer. Eine Kulturgeschichle der Zahlen.— 2 Aufl.— Bd 1.— Gottingen, 1957. 2 Aufl.— Bd 2 (Zahlschrift und Rechnen).—Gottingen, 1958.

Smith D. E., Ginsburg J. Numbers and Numerals.— N. Y. Teacher' College, 1937.

Childe Gordon. What Happened in History.— Harmondsworth; N. Y.: Pelican Book, 1942.

Интересные арпаменты описаны в работах:

Spier L. Plains Indian Parfleche Designs // Univ. Washington Publ. in Anthrop.— 1931.—V. 4.—P. 293—322.

Deacon A. B. Geometrical Drawings from Malekula and Other Islands fo the New Hebrides // J. Roy. Anthrop. Inst—1934.— V. 64.— P. 129—175.

Pоpоva M. La geometric dans la broderie bulgare / Comptes Rendus, Premier Congres des Mathematiciens des pays slaves, Warsaw, 1929.— P. 367—369.


') Не говоря уже о том, сколько субъективного связано с такими определениями.


Математика американских индейцев рассматривается в статье: Тhоmpsоn J.E.S. Maya Arithmetic // Contribution to Amer Anthropology and History.1941.V. 36.Carnegie Inst, of Washington Publ.— P. 37—62.

Подробную библиографию см. в книге:

Smith D. E. History of Mathematics.— V. 1.— Boston, 192.3.—P. 14.


См. также:

Piaget J. La genese du nombre chez 1'enfant.— Neufchatel, 1941

Piaget J. Le developpement des quantites chez 1'enfant— Neufchatel, 1941.

На русском языке см.: Башмакова И. Г., Юшкевич А. П. Происхождение систем счисления // Энциклопедия элементарной математики, т. I.— M.; Л.: Гостехиздат, 1951,—С. 11—74.



Глава II

^ ДРЕВНИЙ ВОСТОК


1. В течение пятого, четвертого и третьего тысячелетия до н. э. новые и более совершенные формы общества складывались на основе упрочившихся общий нового каменного века, существовавших на берегах великих рек Африки и Азии в субтропическом поясе и вблизи него. Эти реки — Нил, Тигр и Евфрат, Инд, позже — Ганг, Ху анхэ, еще позже — Янцзы.

Прибрежные земли в районах этих рек могли давать обильные урожаи при условии регулирования разливов и осушения болот. В противоположность бесплодным пустыням и горным областям и равнинам, примыкавшим к этим речным долинам, последние можно было сделать райским местом. И в течение столетий такую задачу удалось решить путем постройки валов и плотин, создания сети каналов и водохранилищ. Регулирование водоснабжения потребовало совместных усилий населения обширных районов в размерах, значительно превосходивших то, что предпринималось в этом роде раньше. Это повело к установлению централизованного управления, сосредоточенного в городских центрах, а не в варварских селенияк предшествующих эпох. Сравнительно большие излишки, которые давало значительно усовершенствованное и интенсивное земледелие, повысили уровень жизни населения в целом, заодно это создало городскую аристократию во главе с могущественными вождями. Возникло немало профессий и специальностей — их представляли ремесленники, солдаты, писцы и жрецы. Руководство общественными рабогами находилось в руках бессменных должносшых лиц — группы людей, сведущих в смене времен года, движении небесных тел, в деле землеустройства, хранения запасов пищи и взимания налогов. Пользовались письменностью, чтобы придать форму закона требованиям администрации и действиям правителей.

Чиновники, равно как и ремесленники, накопили значительный запас технических знаний, включая сюда металлургию и медицину. В состав этих знаний входило и искусство счета и измерения.

Теперь уже прочно сложились общественные классы. Это были вожди («цари»), самостоятельные землевладельцы и арендаторы, ремесленники, писцы и чиновники, крепостные и рабы. Местные вожди стали настолько богаче и сильнее, что их уже нельзя было считать чемто вроде феодалов с ограниченной властью, — они становились вполне самодержавными царями Раздоры и войны между различными деспотами приводили к возникновению более обширных владений, управляемых единым монархом. Так эти общественные формы, в основе которых лежало орошаемое и интенсивное земледелие, дали некий «восточный» вид деспотизма. Такой деспотизм мог держаться столетиями и затем пасть, то ли под ударами горных племен или кочевников пустыни, привлеченных богатствами речной долины, то ли изза того, что запущенной оказывалась обширная, сложная и жизненно необходимая оросительная система. При таких обстоятельствах власть в племени либо переходила от одного царя к другому, либо же сообщество распадалось на меньшие объединения, причем процесс слияния мог затем начаться заново. Впрочем, при всех этих династических переворотах и повторных переходах от раздробленности к абсолютному деревни, составлявшие основу этого общества, собственно оставались незатронутыми и, стало быть, экономический и общественный строй в основном сохранялся. Восточное общество жило циклами, и даже сейчас в Азии и Африке есть много общин, сохранявших в течение тысячелетий один и тот же уклад жизни. В этих условиях продвижение вперед было медленным и извилистым, и периоды культурного подъема разделялись столетиями застоя и упадка.

Такая статичность Востока создавала некую исконную освященность его установлений, и это облегчало отождествление церкви и государственного аппарата. Чиновничество в значительной своей части было религиозного склада, как и государство в целом; во многих восточных странах жрецы были правителями областей. А так как заниматься наукой было задачей чиновничества, то во многих (но не во всех) восточных странах жрецы занимали выдающееся положение как обладатели научных знании.

2. Восточная математика возникала как прикладная наука, имевшая целью облегчить календарные расчеты) распределение урожая, организацию общественных работ и сбор налогов. Вначале, естественно, главным делом били арифметические расчеты и измерения. Однако в науке, которую столетиями культивировали специалисты, чьей задачей было не только ее применение, но и посвящение в ее тайны, должен был развиться абстрактный уклон. Постепенно наукой стали заниматься ради нее самой. Из арифметики выросла алгебра не только потому, что это облегчало практические расчеты, но и в результате естественного развития науки, культивируемой и совершенствуемой в школах писцов. В силу тех же причин из измерений возникли начатки (но не больше) теоретической геометрии.

Хотя торговля и процветала в этих обществах древнего Востока, их экономическая сердцевина оставалась земледельческой, хозяйственной основой были села, обособленные и консервативные. Это приводило к тому, что различные культуры оставались резко отличными одна от другой, вопреки сходству экономического строя и одинаковому в основном уровню научных сведений. Замкнутость китайцев и египтян вошла в поговорку. Никогда не составляло труда отличить друг от друга искусство и письменность Египта, Месопотамии, Китая, Индии. Точно так же мы можем говорить о египетской, месопотамской, китайской и индийской математике, хотя в общем по своей арифметико-алгебраической природе они весьма схожи. Даже если наука одной из этих стран в течение некоторого периода обгоняла науку другой, она сохраняла свойственные ей приемы и символику.

На Востоке трудно датировать новые открытия. Статический характер его общественного строя приводил к тому, что научные сведения сохранялись без изменений в течение столетий и даже тысячелетий. Открытия, сделанные в пределах одного городского поселения, могли остаться неизвестными в других местностях. Хранилища научных и технических знаний могли быть уничтожена войнами при смене династий, наводнениями. Предание гласит, что в 221 г. до н. э., когда один абсолютный деспот Цинь Шихуанди (династии Цинь, Первый Желтый император) установил свое господство над всем Китаем он приказал уничтожить все научные книги. Позже многое было вновь записано по памяти, но подобные события весьма затрудняют датировку открытий.

Другая трудность в датировке достижений восточной яауки связана с материалом, которым пользовались для их закрепления. Народы Двуречья обжигали глппяные таблички, которые практически были неразрушимы1). Египтяне пользовались папирусом, и поэтому значительная часть памятников их письменности сохранилась в условиях сухого климата. Китайцы и индийцы применяли значительно менее надежный материал — древесную кору пли бамбук. Китайцы во втором столетии н. э. начали пользоваться бумагой, но мало что сохранилось от тысячелетия, предшествующего семисотому году н. э. Поэтому наши сведения о восточной математике весьма отрывочны, и для столетий догреческой эпохи мы, кроме материалов Египта и Двуречья, почти ничем не располагаем. Вполне возможно, что новые открытия поведут к полной переоценке относительного значения различных форм восточной математики. В течение долгого времени самыми богатыми историческими источниками мы обладали по Египту благодаря открытому в 1858 г. так называемому папирусу Райнда (Rhind), написанному около 1650 г. до н. э., но содержащему значительно более старый материал. За последние двадцать лет наши сведения о вавилонской математике значительно возросли благодаря замечательным открытиям О. Нейгебауера и Ф. Тюро-Данжена, которые расшифровали большое число глиняных табличек. Теперь выясняется, что вавилонская математика была значительно более развита, чем ее восточные партнерши. Возможно, это заключение будет окончательным, так как существует известное соответствие в содержании вавилонских и египетских текстов за ряд столетий. Более того, в экономическом развитии Двуречье ушло дальше, чем другие страны так называемого плодородного пояса на Ближнем Востоке, простиравшегося от Двуречья до Египта. Двуречье было перекрестком многочисленных караванных путей, тогда как Египет находился сравнительно в стороне. К этому надо добавить то обстоятельство, что возделывание почвы в районе блуждающих Тигра и Евфрата требует больше технического искусства и регулировки, чем в районе Нила, этой «самой добропорядочной из всех рек», если воспользоваться выражением Уильяма Уилкокса. Быть может, дальнейшее изуче


') Если только их тщательно сберегать после того, как они откопаны. Много табличек пропало изза плохого обращения с ними.



Страница из папируса Райнда


ние древнеиндийской математики обнаружит неожиданные достижения, но пока притязания на это не кажутся достаточно обоснованными.

3. Источником большей части наших сведений об египетской математике являются два математических папируса. Один из них – это уже упомянутый папирус Райнда, содержащий 84 задачи, второй – так называемый московский папирус, который, может быть, на два столетия старше и содержит 25 задач. Эти задачи были уже достаточно

стары, когда составлялись папирусы, но есть меиьшие папирусы значительно более позднего происхождения, даже римских времен, которые не отличаются от названных по своим приемам. Математика, которая в них изложена, основана на десятичной системе счисления со специальными знаками для каждой десятичной единицы более высокого разряда — системе, которая нам знакома благодаря римским обозначениям, основанным па том же принципе: MDCCCLXXVIII= 1878. На основе такой системы египтяне построили арифметику преимущественно аддитивного характера, т. е. ее основное направление состоит в сведении всех умножений к повторным сложениям. Например, умножение на 13 получается умножением сначала на 2, затем на 4, затем на 8 и сложением результатов умножения на 4 и на 8 с первоначальным числом:

Например, для вычисления 13*11 писали:

*1 11

2 22

*4 44

*8 88

и складывали все числа, отмеченные звездочкой, что дает 143.

Самой замечательной чертой египетской арифметики являются действия с дробями. Все дроби сводятся к суммам так называемых основных дробей, то есть дробей, имеющих числителем единицу. Единственное исключение составляла дробь 2/3=1 — 1/3 , для которой существовал специальный символ. Сведение к суммам основных дробей производилось с помощью таблиц, которые давали разложение дробей вида 2/n — единственное необходимое разложение, так как умножение было двоичным. Папирус Райнда дает таблицу, в которой приведены разложения па основные дроби для всех нечетных n от 5 до 331, например

2/7=1/4+1/28,

2/97=1/56+1/679+1/776

Из чего исходили при таком сведении к основным дробям, не ясно (например, почему 2/19 заменяется суммой 1/12+1/76+1/114, а не суммой 1/12+1/57+1/228?)

Такие действия с дробями придавали египетской математике тяжеловесность и растянутость, однако разложение на сумму основных дробей применялось в течение тысячелетий, не только в эпоху эллинизма, но и в средние века. В то же время указанное разложение предполагает определенное математическое искусство, и существуют интересные теории для объяснения того способа, каким египетские специалисты могли получить свои результаты').

Многие задачи очень просты и сводятся к линейному уравнению с одним неизвестным:

Некое количество, его 2/3, его 1/2 и его 1/7, сложенные вместе, дают 33. Каково это количество?

Ответ: 14 28/97, записан в основных дробях: 14+1/4+1/97+1/56+1/679 +1/776+1/194+1/388. Для неизвестного в уравнении существовал иероглиф, обозначавший «кучу» и произносившийся «хау» или «аха». Поэтому египетскую алгебру иногда называют «хау-исчислением»


В задачах речь идет о количестве хлеба и различных сортов пива, о кормлении животных и хранении зерна, и это указывает на практическое происхождение такой запутанной арифметики и примитивной алгебры. В некоторых задачах проявляется теоретический интерес, например в задаче, в которой требуется разделить сто хлебов между пятью людьми так, чтобы их доли составляли арифметическую прогрессию и чтобы одна седьмая суммы трех больших долей была равна сумме двух меньших. Мы даже встречаем геометрическую прогрессию в задаче о семи домах, в каждом из которых есть семь кошек, каждая из которых поедает семь мышей и т. д., что выявляет знание формулы для суммы членов геометрической прогрессии.


l)Neugebauer О. Arithmeiik und Rechnentechmlc dm Agypler / Quellen und Studien zur Geschichte der Malheraatik.1931.—Bd 1.— S. 301380; van der Waerden B. L. Die Entwickiungsgeschichte der agyptischen Bruchrechnung // Quelleu und Studien zur Geschichte der Mathematik.— 1938.— Bd 41.— P. 359—382; Яновская С. А. К теории египетских дробей / Тр. Ин-та истории естествознания.— 1947,— Т. 1,—С. 269—282; Веселовский И.Н. Египетская наука и Греция / Тр Ин-та истории естествознания.1948.—Т. 2.—С. 426—428; см также Bruins Е. M.Proc. Nederl. Akad. Wet.—1952.V. А55.

Некоторые задачи имеют геометрическую природу и касаются преимущественно измерений. Площадь треугольника находится как половина произведения основация и высоты; площадь круга диаметра d определяется как (d-d/9)2, что дает для  значение 256/81≈3,1605. Мы находим также некоторые формулы для объемов тел, таких, как куб, параллелепипед и круговой цилиндр, причем все они рассматриваются конкретно как сосуды, преимущественно для зерна. Самым замечательным результатом в египетских измерениях была формула для объема усеченной пирамиды с квадратным основанием V=h/3(a2+ab+b2), где a и b суть длины сторон квадратов, a hвысота. Этот результат, которому не найдено соответствующего ни в какой другой древней математике, особенно примечателен, поскольку нет указаний на то, чтобы египтяне имели какое-либо представление даже о теореме Пифагора, вопреки некоторым необоснованным рассказам о гарпедонафтах, которые якобы строили прямые углы с помощью веревки, имевшей 3 + 4 + 5=12 узлов').

Мы здесь должны предостеречь от преувеличения древности египетской математической науки. Строителям пирамид эпохи 3000 лет до н. э. и даже раньше приписывали всевозможные результаты высокоразвитой науки. Существует даже много раз серьезно преподносившаяся версия, будто египтяне в 4212 г. до н. э. приняли так называемый сотический цикл для календаря. Нельзя всерьез приписывать столь точные математические и астрономические работы народу, едва вышедшему из условий каменного века, и источником таких рассказов, как обычно удается установить, является позднее египетское предание, дошедшее до нас через греков. Общей чертой древних цивилизаций является стремление датировать главные сведения весьма ранними эпохами. Все доступные тексты указывают, что египетская математика была скорее примитивного характера. На таком же уровне находилась и их астрономия.

4. Переходя к математике Двуречья, мы оказываемся на гораздо более высоком уровне, чем тот, которого ког


') См Gandz S. // Quellea and Studien zur Geschichte der Malhematik. 1930 Bd 1 S. 7.

да-либо достигала египетская математика. Здесь мы можем даже уловить прогресс в ходе столетий. Уже самые древние тексты, относящиеся к последнему шумерскому периоду (третья династия Ура, 2100 г. до н. э.), показывают высокое вычислительное искусство. Эти тексты содержат таблицы для умножения, в которых хорошо развитая шестидесятичная система счисления сочетается с более ранней десятичной системой; здесь имеются клинописные символы, обозначающие 1, 60, 360 и также 60-1, 60-2. Однако не это было наиболее характерной их чертой. В то время как египтяне каждую единицу более высокого разряда обозначали новым символом, шумеры пользовались одним и тем же символом, но указывали его значение его положением. Так, 1, за которой следовала другая 1, давала запись числа 61, а 5 с последующим 6 с последующим 3 (мы это будем записывать как 5, 6, 3) обозначало 5•602+6•60+3 = 18363. Такая позиционная (или поместная) система не отличается, по сути дела, от нашей системы записи чисел, при которое символ 343 заменяет 3•102 + 4•10+3. Подобная система имеет огромное преимущество при вычислениях, что можно сразу увидеть, если попытаться выполнить умножение и в нашей системе, и в системе с римскими цифрами. Позиционная система устраняла многие трудности в арифметике дробей так же, как это происходит при нашей системе с введением десятичных дробей. По-видимому, вся эта система была непосредственным результатом развития техники управления, что засвидетельствовано в тысячах текстов того же периода, где речь идет о поставках скота, зерна и т. п. и о связанных с этим арифметических вычислениях.

При таком способе счета существовала некоторая неопределенность, так как значение символа не всегда было ясно по его положению. Так, (5, 6, 3) могло также означать 5601 +6•60°+ 3•60-1=306 1/20, и точное исстолкование надо было извлечь из контекста. Другая неопределенность возникала из-за того, что незаполненное место иной раз означало нуль, так что (11,5) могло стоять вместо 11•602 +5=39605. Иной раз появляется специальный символ для нуля, но не ранее персидской эпохи. Так называемое «изобретение нуля» было, таким образом, логическим следствием введения поместной системы, но только после того, как техника вычислений была значительно усовершенствована.



Оборотная сторона древневавилонской таблички, хранящейся в Эрмитаже (Эрм. 15073). Вероятно, XVII в. до н. э.

Как шестидесятатаая система, так и позиционность и системы счисдеевия оказались прочиым достоянием человечества. Наше современное деление часа на 60 минут и 3600 секунд восходит к шумерам, равно как и наше деление окружности на 360 градусов, каждого градуса на 60 минут и каждой минуты на 60 секунд. Есть основания полагать, что выбор в качестве основы 60 вместо 10 появился при попытке унифицировать системы измерения, хотя то обстоятельство, что 60 имеет много делителей, тоже могло иметь значение. Что касается поместной системы, непреходящее значение которой сравнивают со значением алфавита'), так как оба изобретения заменя


')Neugebauer О The History of Ancient Astronomy // Journal of Near Eastern Studies.— 1945,— V. 4.— P. 12.

ют сложную символику методом, легко доступным широкому кругу людей, то ее история в значительной мере еще темна. Есть основание предполагать, что как индийцы, так и греки познакомились с нею на караванных путях, которые вели через Вавилон. Нам известно также, что арабы говорили о ней как об индийском изобретении. Однако вавилонская традиция могла повлиять на все позднейшее распространение поместной системы.

5. Следующая группа клинописных текстов относится ко времени первой вавилонской династии, когда в Вавилоне правил царь Хаммурапи (около 1950 г. до н. э.) и семитское население подчинило себе исконных жителей — шумеров. В этих текстах мы видим, что арифметика развилась в хорошо разработанную алгебру. Египтяне того же периода были в состоянии решать только простые линейные уравнения, а вавилоняне времен Хаммурапи полностью владели техникой решения квадратных уравнений. Они решали линейные и квадратные уравнения с двумя неизвестными, решали даже задачи, сводящиеся к кубическим и к биквадратным уравнениям. Такие задачи они формулировали только при определенных числовых значениях коэффициентов, но их методы не оставляют никакого сомнения относительно того, что они знали общие правила.

Приведем пример, взятый из одной из глиняных табличек этого периода.

«Площадь А, состоящая из суммы двух квадратов, составляет 1000. Сторона одного из квадратов составляет 2/3 стороны другого квадрата, уменьшенные на 10. Каковы стороны квадратов?»

Это приводит к уравнениям х2 + y2 =1000, у=2/3• x — 10, решение которых сводится к решению квадратного уравнения

13/9 x2–40/3 x –900=0

имеющему положительный корень х = 30.

В действительности решение в клинописном тексте ограничивается, как и во всех восточных задачах, простым перечислением этапов вычисления, необходимого для решения квадратного уравнения:

«Возведи в квадрат 10; это дает 100; вычти 100 из 1000; это дает 900» и т.д.

Резко выраженный арифметико-алгебраический характер вавилонской математики проявляется и в геометрии. Как и в Египте, геометрия развивалась на основе практических задач измерения, но геометрическая форма

задачи обычно является только средством для того, чтобы поставить алгебраический вопрос. Предыдущий пример показывает, как задача относительно площади квадрата приводит к нетривиальной алгебраической проблеме, и этот пример не составляет исключения. Тексты показывают, что вавилонская геометрия семитского периода располагала формулами для площадей простых прямолинейных фигур и для объемов простых тел, хотя объем усеченной пирамиды еще не был найден. Так называемая теорема Пифагора была известна не только для частных случаев, но и в полной общности. Основной чертой этой геометрии был все же ее алгебраический характер. Это в равной мере относится и ко всем позднейшим текстам, особенно к текстам третьего периода, от которого до нас дошло немалое их число,— эпохи нововавилонской, персидской и эпохи Селевкидов (примерно от 600 г. до н. э. до 300 г. н. э.). Тексты этого последнего периода обнаруживают значительное влияние вавилонской астрономии, которая в это время приобретает характер настоящей науки, что сказывается в тщательном анализе различных эфемерид. Вычислительная техника математических текстов становится еще более совершенной; алгебра справляется с задачами на уравнения, для которых требуется значительное вычислительное искусство. От эпохи Селевкидов дошли вычисления, которые доведены до семнадцатого шестидесятичного знака. Столь сложные вычислительные работы уже нельзя связывать с вычислением налогов или измерением — стимулом для них были астрономические задачи или просто любовь к вычислениям.

Многое в этой вычислительной арифметике выполнялось с помощью таблиц, в наборе которых есть и простые таблицы для умножения, и таблицы обратных величин, квадратных и кубических корней. В одной из таблиц имеется ряд чисел вида п3 + п2, которым, повидимому, пользовались для решения кубических уравнений вида х3 + х2 = а. В них содержатся некоторые превосходные приближения: √2≈ дается 1 5/12 (√2≈1.4142, 1 5/12≈ 1.4167)1), для 2/√2≈0.7071 дается 17/24≈0.7083. Видимо, квадратные корпи определялись по формуле


') Neugebauer О. Exact Sciences in Antiquity // Univ. of Pennsylvania Bicentennial Conference, Studies in Civilization, Philadelphia, 1941.— P. 13—29.

наподобие следующей:



Что касается значения , в большинстве случаев таблички обходятся библейским =3. Есть указания на то, что применялись и лучшие приближения, дававшие для  значение 3 1/8 1).

Уравнение х3гпоявляется в задаче, в которой требуется решить систему уравнений xyz + ху = 1 + 1/6, y=2/3 x, z=12x, что сводится к уравнению

(12x)3+(12x)2=252

или, согласно таблицам, 12х = 6.


В клинописных текстах есть задачи и на сложные проценты. Например, ставится вопрос, за какое время удвоится сумма денег, ссуженная под 20 (годовых) процентов. Это приводит к уравнению(1 1/5)x=2, которое решается так: сначала замечают, что 3 < х < 4, а затем применяют линейную интерполяцию. В наших обозначениях



что дает для х значение 4 года минус (2, 33, 20) месяцев.

Повидимому, одной из особых причин, вызвавших развитие алгебры примерно около 2000 г. до н. э., было то, что новые семитские правители Вавилона использовали прежнее шумерийское письмо. Это письмо, как и иероглифы, было набором идеограмм — каждый знак обозначал отдельное понятие. Семита воспользовались им для фонетической записи слов своего языка и вместе с тем применяли некоторые знаки в их прежнем значении. Следовательно, эти знаки попрежнему выражали понятия, но произносились иначе. Такие идеограммы были вполне пригодны для алгебраического языка, подобно нашим современным знакам +, —, ..., которые в действительности тоже идеограммы. В вавилонских школак администраторов этот алгебраический язык стал частью учебной программы на много поколений и, хотя власть


') Bruins Е. М, Rutten M. Textes mathematiques de .— Paris, 1961,— P, 18,

переходила в руки новых правителей — касситов, ассирийцев, мидян, персов, эта традиция оставалась в силе.

Самые сложные задачи относятся к более поздним периодам в истории древней цивилизации, а именно, к персидской эпохе и эпохе Селевкидов. В те времена Вавилон уже не был политическим центром, но в течение ряда столетий он оставался интеллектуальной столицей обширной империи, в которой вавилоняне смешались с персами, греками, евреями, индусами и многими другими народами. Но во всех клинописных текстах видна непрерывность традиции, что, вероятно, указывает на местную непрерывность развития.

Можно быть уверенным в том, что этому развитию способствовало взаимно обогащавшее общение с другими цивилизациями. Мы знаем, что вавилонская астрономия этого периода оказала влияние на греческую и что вавилонская математика повлияла на вычислительную арифметику. Есть основания полагать, что вавилонские школы писцов были посредниками между наукой Греции и наукой Индии. Мы все еще мало осведомлены о роли персидской и селевкидской Месопотамии в распространении древневосточной и античной астрономии и математики, но все доступные данные указывают на то, что эта роль должна была быть значительной. Средневековая арабская и индийская наука опиралась не только на традиции Александрии, но и на традиции Вавилона.

6. Во всей математике Древнего Востока мы нигде не находим никакой попытки дать то, что мы называем доказательством. Нет никаких доводов, мы имеем только предписания в виде правил: «делай то-то, делай так-то». Мы не знаем, как там были получены теоремы, например, как вавилонянам стала известна теорема Пифагора. Было сделано несколько попыток объяснить, как египтяне и вавилоняне получали свои результаты, но все они являются только предположениями. Нам, воспитанным на строгих выводах Евклида, весь этот восточный способ рассуждения кажется па первый взгляд странным и крайне неудовлетворительным. Но такое впечатление исчезает, когда мы уясняем себе, что большая часть математики, которой мы обучаем современных инженеров и техников, все еще строится по принципу «делай то-то и делай так-то», без большого стремления к строгости доказательств. Алгебру во многих средних школах все еще изучают не как дедуктивную науку, а скорее как набор правил. Видимо, восточная математика никогда не могла

освободиться от тысячелетнего влияния технических проблем и проблем управления, для пользы которых она и была создана.

7. Вопрос о влиянии Греции, Китая и Вавилона имеет глубокое и определяющее значение для изучения древнеиндийской математики. Коренные ученые Индии и Китая прошлого, а иногда и настоящего времени обыкновенно подчеркивали большую древность их математики, но у них нет математических текстов, которые можно было бы надежно отнести ко времени до н. э. Самые древние индийские тексты относятся, пожалуй, к первым столетиям п. э., самые древние китайские тексты такого же или даже более позднего происхождения. Установлено, что древние индусы пользовались десятичной системой счисления без позиционных обозначений. Такую систему составляли так называемые числа Брахми, имевшие особые знаки для каждого из чисел 1, 2, 3, ..., 9, 10; 20, 30, 40, ..., 100; 200, 300, ..., 1000, 2000, ... Эти символы — по меньшей мере эпохи короля Ашока (300 лет до н. э.). Затем мы имеем так называемые «Сульвасутры», часть которых давности 500 лет до н.э. или еще древнее; в них изложены математические правила древнего местного происхождения. Мы находим эти правила среди обрядовых предписаний, некоторые из которых относятся к построению алтарей. Мы имеем здесь рецепты для построения квадратов и прямоугольников, выражения для зависимости между диагональю и стороной квадрата и для равновеликости квадратов и кругов. Встречаются частные случаи теоремы Пифагора и некоторые любопытные приближения с помощью «основных» дробей, вроде такого (в наших обозначениях):



То любопытное обстоятельство, что эти результаты «Сульвасутр» не встречаются в более поздних индийских трудах, показывает, что мы еще не можем говорить применительно к индийской математике о той непрерывности традиции, которая столь типична для математики Египта или Вавилона, и возможно, что в столь большой стране, как Индия, такой непрерывности и не было. Могли

быть различные традиции, связанные с различными школами. Мы знаем, например, что джайнизм, религия столь же древняя, как буддизм (около 500г. до н. э.), поощрял математические исследования, и в священных книгах джайнизма обнаружено значение для ≈√10.

8. При изучении древнекитайской математики значительным препятствием является отсутствие переводов, хотя мы благодаря книгам Миками и Нидхема хорошо осведомлены о положении математики в Древнем Китае. Тем, кто знает русский язык, доступен значительно больший материал, имеется даже русский перевод классического математического произведения «Девять книг (разделов) о математическом искусстве» (Цзю чжан суань шу) . Как эта книга, так и «Чжоу-би» в своем нынешнем виде дошли до нас от периода династии Хань (206 г. до н. э. — 220 г. н. э.), но в них, конечно, может содержаться материал значительно более раннего происхождения. Книга Чжоуби только частично посвящена математике, но интересно, что в ней рассматривается теорема Пифагора. Напротив, «Девять книг (разделов)»— чисго математическое произведение, которое вполне характерно для древнекитайской математики следующего тысячелетия, да и более поздней.

Очень стары также некоторые диаграммы из книг периода династии Хань, например из «Книги перемен» (И цзинь, VIII — VII вв. до н. э.). В числе их следующий, связанный со многими легендами, магической квадрат (ло шу):

4 9 2

3 5 7

8 1 6

Система счисления у китайцев всегда была десятичной, и уже во втором тысячелетии до нашей эры мы встречаемся с числами, записанными с помощью девяти символов в позиционной системе. Такой способ записи получил права гражданства в период династии Хань или еще раньше. Девять знаков изображались с помощью бамбуковых палочек, поразному размещенных; например II = III обозначало число 6729, которое именно


') Datta В. The Jaina School of Mathematics // Bull. Calcutta Math Soc — 1929.— V. 21.— P. 115—146.

таким образом и записывалось. Арифметические действия выполнялись с помощью счетных досок; пропуски, т. е, пустые места, обозначали нуль (специальный знак для нуля появляется только в тринадцатом столетии н. э., хотя он, возможно, и старше).

При календарных расчетах применялось нечто вроде шестидесятичной системы, что можно сопоставить с сочетанием двух связанных друг с другом зубчаток, из которых одна имеет двенадцать зубьев, а другая — десять. Так число шестьдесят стало единицей высшего разряда, «периодом» («Катэйский период» в одном из стихотворений Теннисона).

Математика «Девяти книг» состоит в основном из задач и общих указаний, как их решать. Эти задачи возникают из практических применений арифметики и сводятся к алгебраическим уравнениям с числовыми коэффициентами. Вычисляются и квадратные, и кубические корни, например число 751½ определяется как корень квадратный из 564752 ¼. При вычислениях с окружностью принимается  = 3. Ряд задач сводится к системам линейных уравнений, например к системе

Зх + 2у+ z = 39,

2х + 3у+ z = 34,

х + 2у + 3z = 26,

которая записывается «матрицей» своих коэффициентов. Решение этой системы приводится в таком виде, которое мы теперь назвали бы «матричным преобразованием». Эти матрицы содержат и отрицательные числа, здесь впервые появляющиеся в истории математики.

Китайская математика занимает особое положение — практически до последних лет мы видим в ней непрерывность традиции, так что мы можем выяснить, каково ее место в обществе, более полно, чем в случав египетской и вавилонской математики, принадлежащих исчезнувшим цивилизациям.

Например, мы знаем, что кандидаты, подвергавшиеся экзамену, должны были знать «Десять классиков» в точно определенном объеме и что успех на экзамене определяется в основном умением точно цитировать тексты на память. Таким образом, традиционное учение передавалось из поколения в поколение с обременительной хщательностью. В такой застойной культурной атмосфере но

вые открытия стали чрезвычайно редким явлением, а это опять-таки обеспечивало неизменность математической традиции. Такая традиция могла передаваться в течение тысячелетий и могла пострадать только иногда, при больших исторических потрясениях.

В Индии существовали аналогичные условия, и там мы находим даже такие математические тексты, которые написаны стихотворными размерами с целью облегчить запоминание. Нет никаких особых причин считать, что приемы, которыми пользовались в древнем Египте и в Вавилоне, могли значительно отличаться от практики Индии и Китая.

Чтобы прервать процесс полного окостенения математики, должна была возникнуть цивилизация совершенно другого рода. Математика достигла, наконец, уровня настоящей науки благодаря тому новому микровоззрению, которое характерно для цивилизации греков.


ЛИТЕРАТУРА

The Rhind Mathematical Papyrus/Ed. T. E. Peot.—London, 1923.

The Rhind Mathematical Papyrus/Ed. А. В Chance, L. Bull, H P. Manning, R. C. Archibald. V, 1— Oberlin, Ohio 8, 1927. V. 2.— Oberlin, Ohio 8, 1929.

В этом труде содержится обширная библиография по египетской и вавилонской математике. Библиография, преимущественно по древней астрономии, имеется в книге О. Нейгебауера.

^ Mathimatischer Papyrus des staatlichen Museums der schonon Kunste in Moscau/Изд. В. В. Струве и В А. Тураев.— Berlin, 1930.

Neugebauer O. Vorlesungen űber Geschichte der antiken mathematischen Wissenschaften, I: Vorgiechische Malhematik.— Berlin, 1934').

Neugebauer O. Mathematische Keilschrift — Texte.— Bd 1—3.—Berlin, 1935—1937.

Neugebauer O., Sachs A. Mathematical Cuneiform Texts.— New Haven, 1945.

Bruins E. M., Rutten M. Texles mathematiques de Suse.— Pans, 1961.

Thureau-Dangin F. Sketch of a history of the sexagesimal system.— Osiris, 1939.— Bd 7.— C. 95—141.

Thureau-Dangin F. Textea mathematiques babyloniens — Leiden, 1938.

Выгодский M. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире.— 2е изд.— М.: Наука, 1967.

Вайман А. А. Шумеровавилонская математика, IIII тысячелетня до н.э.— М., 1961

Экономическая документация использована как источник для истории математики в древнем Двуречье в работах:


') Русский перевод: Нейгебауер О. Лекции по истории античных математических наук Т. I: Догреческая математика/ Предисловие и приложения С. Я. Лурье — М.; Л.: ОНТИ, М37.

Раздымаха Г.С. Физико-математические знания в дрепних рабовладельческих государствах Двуречья по документам хозяйственной отчетности / Науков! записки Кам'янецьПод1льского пед. шту.~ 1958.— Т. 6,— С. 125—191.

Раздимаха Г. С. Математика Двурiччя за економичпою документален} / Тсторикоматем. збирник.— 1961.— Т. 2 — С. 128—147.

Раздимаха Г. С. Проблема межувапня земл! у вавшонекщ геометра / 1сторикоматем. зборник.— 1962.— Т. 3.— С. 75—95.

О. Нейгебауер и Ф. Тюро — Дагокен по ряду пунктов расходятся в истолковании вавилонской математики. По этому вопросу см.

G a n d z S. Conflicting of Babylonian Mathematics / Isis, 1940,V. 31.P. 405425.

Хороший обзор догреческой в математике см. в работе Archibald R. С. Mathematics before the Greek / Science.— 1930.— V. 71.— P. 109—121, 342; см. также Science, 1930.— V. 72.—

P. 36.

S m e t h D. E. Algebra of 4000 Years Ago / ScpJpta maihematica.— 1936.— V. 4.— P. 111—125.

Vоge1 K. Vorgriechische Mathematik.— V. 1, 2,— Hannover. Paderborn, 1958—1959.

Сведения об индийской математике см. в журнале Bulletin of the Calcutta Mathematical Society и в книге D a tta В., Singh A. N. History of Hindu Mathematics.—V. 1.—Lahore, 1935.— V. 2.— Lahore, 1938

Рецензия О. Нейгебауера:

Neugebauer O. / Quellen und Stndien.—1936.—V. 3B.— P. 263—271.

G u r j a r L. V. Ancient Indian Mathematics and Vedha — Poona.—Vidwans, 1947.

Кaye G. R. Indian Mathematics / Isis.—1819.—V. 2.— P. 326—356.

Seidenberg T. The ritual oridgin of geometry / Arch, for hist, of exact sc.— 1962.— V. 1.— P. 408—527.

Műller C. Die Malhematik der Sulvasutra / Abh. math. Sem. Univ. Hamburg.— 1929.— Bd 7.— S. 173—204.

О японскокитайской математике см.:

S u i k a m i I. The Development of Mathematics in China and Japan.— Leipzig, 1913.

Smith D. E., M i k a m i LA History of Japanese Mathematics.— Shicago, 1914.

Древнекитайский трактат: Математика в девяти книгах/Перевод, вступительная статья и примечания Э. И. Березкиной / Историкоматематические исследования, вып. X.— М.: Гостехиздат, 1957,— С. 425—584.

Си: Раик А. Е. О вычислении некоторых объемов в древнекитайском трактате «Математика в девяти книгах» / Историкоматематические исследования, вып. XIV.— М.: Физматгиз, 1961.

Книга IChing, И цзинь, то есть «Книга перемен», имеется в ашлийском переводе Р Вильгельма (R. Wilhelm) — 1950, ц в русском переводе Ю. К. Шуцкою (Китайская классическая «Книга перемен».—М., 1960).

^ Третий том запланированного в семи томах труда: Needham J. Science and civilization in China.— Cambridge, 1959, посвящен точным наукам в Китае.

Некоторые соображения относительно китайской, содержатся в работе Jusсhkiewitсh A.P., Rоsenfeld B.A. Die Mathematik der Lander des Ostens im Mittelalter // Beitrage zur fCeschichte der Naturwissenschaft /Hrsg. von G. Hang,— Berlin, 1960.

См. также указанную на с. 74 книгу О. Нейгебауэра и литературу на с. 99. О природе восточного общества см. литературу к гл. IV, а также:

Wi11fоge1 К.A. Die Theorie der orientalischen Geseus // Zeitschrift fur Sozialforschung—1938 Bd 7.—S. 90— 122.

Также: Le mode de production asiatique / La pensee.V. 114. P. 3-73.

Needham J. Science and Society in East and West //Science and Society.— 1964 — V. 28,— P. 385—408.



Глава III

ГРЕЦИЯ

1. В течение последних столетий второго тысячелетия до н. э. в бассейне Средиземного моря и в прилегающих к нему областях очень многое изменилось в экономике и в политике.

Бронзовый век сменился тем нашим веком, который мы зовем веком железа, и происходило это в смутное время переселений и войн. Лишь немногие частности известны нам об этой революционной эпохе, но мы знаем, что к ее завершению, примерно около 900 г. до н. э., уже не было царства Миноса и Хеттской державы, значительно слабее стали Египет и Вавилон и ча исторической сцене появились новые народы. Наиболее выдающимися среди них были евреи, ассирийцы, финикийцы и греки. Вытеснение бронзы железом означало не только переворот в военном деле, но и ускорение роста экономики благодаря удешевлению средств производства, и это сделало возможным более деятельное участие широких слоев общества в делах экономического и общественного значения. Это сказалось и в двух важных новшествах: в замене неудобного письма Древнего Востока легко доступным алфавитом и во введении чеканной монеты, что послужило оживлению торговли. Наступило то время, когда культурные ценности уже пе могли дальше оставаться исключительным достоянием восточного чиновничества.

Деятельность «морских разбойников»— так египетские тексты характеризуют некоторые переселявшиеся народы — первоначально сопровождалась немалыми культурными потерями. Критская цивилизация исчезла, eraпетское искусство пришло в упадок, наука Вавилона и Египта окостенела на столетия. Мы не имеем никаких математических текстов этого переходного периода. Когда положение снова стало устойчивым, Древний Восток оп

равился, оставаясь в основном верным традиции, но было расчищено место для цивилизации целиком нового склада — греческой цивилизаций.

Те города, которые возникли на побережье Малой Азии и в самой Греции, уже не были административными центрами страны оросительного земледелия. Это были торговые города, где феодалы-землевладельцы старого уклада были обречены на поражение в борьбе, которую им довелось вести с независимым, обретшим политическое самосознание классом купцов. В течение седьмого и шестого столетий до н. э. это купечество взяло верх, но ему пришлось в свою очередь вступить в борьбу с мелкими торговцами и ремесленниками, с демосом.

Итогом был расцвет греческого полиса, самоуправляющегося городагосударства — новое социальное явление, вполне отличное от ранних городовгосударств Шумера и других стран Востока. Наиболее значительные из этих городовгосударств сложились в Ионии, на анатолийском берегу. Их растущая торговля связала их со всем побережьем Средиземного моря, с Двуречьем, Египтом, со Скифией и даже более далекими странами. Долгое время ведущее место занимал Милет. Но и города на других берегах: Коринф, позже Афины в собственно Греции, Кротон и Гиарент в Италии, Сиракузы в Сицилии — становились богаче и значительнее. Новый общественный уклад создал новый тип человека. Купец-путешественник никогда еще не пользовался такой независимостью, и он знал, что она добыта в упорной и жестокой борьбе. Он никак не мог разделять устоявшиеся воззрения Востока. Он жил в период географических открытий, сравнимых только с открытиями западноевропейского шестнадцатого столетия, он не признавал ни абсолютного монарха, ни власти, предстающей в виде охранительного божества. А кроме того он мог пользоваться известным досугом благодаря своему богатству и труду рабов. Он мог поразмыслить об окружающем его мире. Отсутствие вполне установившейся религии привело многих обитателей этих прибрежных городов к мистицизму, но это способствовало и противоположному — росту рационализма и научному подходу.

2. Современная математика родилась в этой атмосфере ионийского рационализма — математика, которая ставила не только восточный вопрос «как?», но и современный, научный вопрос «почему?». Согласно преданию отцом греческой математики является милетский купец

Фалес, в первой половине шестого века посетивший Вавилон и Египет. Но если он даже целиком легендарная фигура, то за нею стоит нечто вполне реальное. Это — образ, соответствующий тем условиям, в которых закладывались основы не только современной математики, но и всей современной науки и философии. Первоначально греки занимались математикой, имея одну основную цель — понять, какое место занимает во вселенной человек в рамках некоторой рациональной схемы. Математика помогла найти порядок в хаосе, связать идеи в логические цепочки, обнаружить основные принципы. Она была наиболее теоретической из всех наук.

Несомненно, что греческие купцы познакомились с восточной математикой, прокладывая свои торговые пути. Но люди Востока почти не занимались теорией, и греки быстро обнаружили это. Почему в равнобедренных треугольниках два угла равны? Почему площадь треугольника равна половине площади прямоугольника при одинаковых основаниях и высотах? Такие вопросы естественно возникали у людей, ставивших сходные вопросы в области космологии, биологии и физики.

К сожалению, у нас нет первоисточников, описывающих ранний период развития греческой математики. Уцелевшие рукописи относятся к эпохе христианства и ислама и их только в малой мере дополняют заметки в египетских папирусах несколько более раннего периода. Все же классическая филология дала возможность восстановить тексты, которые восходят к четвертому столетию до н. э. и далее, и мы благодаря этому располагаем надежными изданиями Евклида, Архимеда, Аполлония и других великих математиков античности. Но в этих текстах перед нами уже вполне развитая математическая наука, и даже с помощью позднейших комментариев по ним трудно проследить ход исторического развития. Об эпохе формирования греческой математики приходится судить, основываясь лишь на небольших фрагментах, приводимых в более поздних произведениях, и на отдельных замечаниях философов и других не строго математических авторов. Очень много остроумия и труда было вложено в критику текстов, благодаря чему удалось разъяснить немало темных мест в этом раннем периоде. Эта работа, проделанная такими исследователями, как Поль Таннери (Tannery), Хит (Т. L. Heath), Цейтен (Н. G. Zeuten), Франк (Е. Frank) и др., позволяет нам дать в известной мере связную, хотя в значи

тельной части предположительную картину греческой математики в эпоху ее формирования.

3. В шестом столетии до н. э. на развалинах Ассирийской империи возникла новая обширная восточная держава — Персия Ахеменидов. Она завоевала города Анатолии, но общественный строй греческой метрополии пустил уже глубокие корни и его нельзя было сокрушить. Персидское нашествие было отражено в исторических битвах при Марафоне, Саламине и Платее. Главным результатом греческой победы было расширение и экспансия Афин. Здесь во второй половине пятого столетия, при Перикле, влияние демократических элементов все время возрастало. Они были движущей силой экономической и военной экспансии, и около 430 г. они сделали Афины не только центром Греческой империи, но и центром новой и любопытной цивилизации — золотого века Греции.

В обстановке общественной и политической борьбы философы и наставники излагали свои теории и заодно и новую математику. Впервые в истории группа критически мыслящих, «софистов», менее скованная традицией, чем какаялибо иная предшествовавшая ей группа ученых, стала рассматривать проблемы математического характера скорее с целью уяснения их сути, чем ради пользы.

Так как такой подход позволил софистам дойти до основ точного мышления вообще, было бы чрезвычайно поучительно познакомиться с их рассуждениями. К несчастью, от этого периода дошел лишь один цельный математический фрагмент, принадлежащий ионийскому философу Гиппократу из Хиоса. Математические рассуждения в этом фрагменте на весьма высоком уровне, и достаточно типично то, что в нем рассматривается совсем «непрактический», но теоретически существенный вопрос о так называемых луночках — плоских фигурах, ограниченных двумя круговыми дугами.

Этот вопрос — найти площадь таких луночек, у которых площадь рационально выражается через диаметр,— имеет прямое отношение к центральной проблеме греческой математики — квадратуре круга. Анализ этой проблемы у Гиппократа1) показывает, что у математиков


') Исследование этого вопроса средствами современной математики см. в работах Landau Е. / Borirhte Berliner Math. Ges.— 1903.— Bd 2,—S 1—6; Чеботарев Н. Г. / Собрание со

золотого века Греции была упорядоченная евстема плоской геометрии, в которой в полном объеме применялся принцип логического заключения от одного утверждения к другому («апагоге»). Были заложены основы аксиоматики, на что указывает название приписываемой Гиппократу книги «Начала» («Stoicheia»), название всех греческих аксиоматических трактатов, включая трактат Евклида. Гиппократ исследовал площади плоских фигур, ограниченных как прямыми линиями, так и дугами окружности. Он учит, что площади подобных круговых сегментов относятся, как квадраты стягивающих их хорд. Он знает теорему Пифагора, а также соответствующее неравенство для непрямоугольных треугольников. Весь его трактат уже мог бы быть отнесен к евклидовой традиции, если бы он не был старше Евклида более чем на столетие.

Проблема квадратуры круга — одна из «трех знаменитых математических проблем античности», которые в этот период стали предметом исследования. Эти проблемы таковы:

1) Трисекция угла, то есть разделение любого заданного угла на три части.

2) Удвоение куба, то есть определение ребра такого куба, который имел бы объем, вдвое больший объема заданного куба (так называемая делийская задача).

3) Квадратура круга, то есть нахождение такого квадрата, площадь которого была бы равна площади данного круга.

Значение этих проблем в том, что их нельзя точно решать геометрически с помощью конечного числа построений прямых линий и окружностей,— это можно сделать только приближенно,— вследствие чего эти проблемы стали средством для проникновения в новые области математики. Б связи с этими проблемами были открыты конические сечения, некоторые кривые третьего и четвертого порядка и трансцендентная кривая, названная квадратриссой. Мы не должны с предубеждением подходить к вопросу о значении этих проблем из-за того, что иной раз они появлялись в виде анекдота (дельфийские пророчества и т. п.). Не раз случалось, что основной важности вопросы излагали в виде анекдота или голово


чинении, Т. I.—M.; Л., 1949.—С. 193—207; Д о р о д е о в А. В // ДАН СССР.—1947.—Т. 58.—С. 965—968. См. также Dantzig Г. The Bequest of the Greeks.— N. Y., 1955, Ch. 10.

ломки,— вспомним о яблоке Ньютона, о клятвопреступничестве Кардано, о винных бочках Кеплера. Математики разных эпох, включая нашу, показали, какая связь существует между этими греческими проблемами и современной теорией уравнений, связь, затрагивающая вопросы об областях рациональности, алгебраические числа и теорию групп.

4. Вероятно, от группы софистов, которые в некоторой степени были связаны с демократическим движением, отмежевалась другая группа философов с математическими интересами, примыкавшая к аристократическим объединениям. Они называли себя пифагорейцами в честь основателя этой школы Пифагора, который, предположительно, был мистиком, ученым и государственным деятелем аристократического толка. Софисты в большинстве подчеркивали реальность изменений, пифагорейцы стремились найти в природе и обществе неизменное. В поисках вечных законов вселенной они изучали геометрию, арифметику, астрономию и музыку («квадривий»). Самым выдающимся их представителем был Архит из Тарента, который жил около 400 г. до н. э. и школе которого, если мы примем гипотезу Франка (Е. Frank), следует приписать большую часть «пифагорейской» математики. Арифметика пифагорейцев была в высшей степени спекулятивной наукой и имела мало общего с современной ей вычислительной техникой Вавилона. Числа разбивались на классы: четные, нечетные, четночетные, нечетнонечетные, простые и составные, совершенные, дружеские, треугольные, квадратные, пятиугольные и т. д. Некоторые из наиболее интересных результатов получены для «треугольных чисел», связывающих арифметику и геометрию:

• 1 3 6 •••••• 10 и т.д.

Наш термин «квадратные числа» идет от построений пифагорейцев:

• 1 :: 4 :



страница1/11
Дата конвертации16.12.2012
Размер3.44 Mb.
ТипКнига
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rud.exdat.com


База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2012
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Документы