Конспект лекций Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Самара icon

Конспект лекций Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Самара



Смотрите также:
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13
^

6.8. Пересечение поверхностей

6.8.1. Пересечение многогранников


Многогранники пересекаются по замкнутым пространственным ломаным линиям, которые могут быть найдены следующим образом:

  1. Способ ребер. Находятся точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого.

  2. Способ граней. Определяются отрезки прямых, по которым грани одного многогранника пересекаются с гранями другого.

Пример: ^ Построить линию пересечения двух трехгранных призм, одна из которых проецирующая.

В результате пересечения заданных многогранников получается ломаная пространственная линии. Она соединяет соответствующие точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого. Так как одна из призм проецирующая относительно горизонтальной плоскости проекций, горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с горизонтальным очерком этой призмы. Искомые точки сечения можно получить, решая задачу на пересечение прямой (ребра) с плоскостью (гранью).

, .

, .

Для построения точек пересечения ребра b с гранями призмы, используется горизонтально-проецирующая плоскость .


.

.



Рис. 6.18

Для определения видимости линии сечения строится диаграмма, на которой схематично в произвольных размерах изображаются грани заданных призм. Знаками  и  отмечается видимость граней многогранников. На соответствующих гранях и ребрах наносятся точки сечения, и соединяют их с учетом видимости. Видимыми считаются те звенья линии пересечения, которые лежат на видимых гранях обоих многогранников.

Лекция 11

^

6.8.2. Пересечение поверхностей вращения


Линией пересечения поверхностей является плоская или пространственная кривая, состоящая из:

  • одного замкнутого контура, если одно геометрическое тело частично врезается в поверхность другого;

  • распадается на несколько линий, если поверхность одного тела полностью пронизывает поверхность другого.

Рассмотрим особые случаи пересечения поверхностей вращения.

Цилиндрические, конические поверхности и однополосный гиперболоид вращения относятся к линейчатым поверхностям вращения второго порядка. Сфера, эллипсоид вращения, параболоид вращения и двухполосный гиперболоид вращения – нелинейчатые поверхностям второго порядка.

Поверхность второго порядка – множество точек пространства, декартовые координаты которых соответствуют алгебраическому уравнению второй степени.

.

Из аналитической геометрии известно, что порядок линии пересечения поверхностей равен произведению порядков поверхностей. Поэтому в общем случае две поверхности второго порядка (квадрики) пересекаются по пространственной линии четвертого порядка (биквадратной кривой), которая иногда распадается на несколько линий.

В некоторых частных случаях линия пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Условия, при которых это возможно, определены в следующих теоремах. Зная их, можно быстрее и точнее построить линию пересечения поверхностей.




Рис. 6.19


Теорема 1:

Если две квадрики пересекаются по одной плоской кривой, то существует и другая плоская кривая, по которой они пересекаются.


Например, линия пересечения сферы и эллиптического цилиндра с круговым основанием распадается на две коники – окружности (q, q).

Теорема 2:

Если две квадрики имеют касание в двух точках, то линия их пересечения распадается на две коники, плоскости которых проходят через отрезок прямой, соединяющей эти точки.




Рис. 6.20


Поверхности прямого кругового цилиндра и эллиптического цилиндра с круговым основанием имеют две общие точки касания (А, В). Следовательно, по Т2 они пересекаются по двум коникам – окружности (q) и эллипсу (q), плоскости которых пересекаются по прямой АВ.

Теорема 3:

Две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям-параллелям, число которых равно числу точек пересечения главных полумеридианов поверхностей.



Рис. 6.21


Соосными называются поверхности, имеющие общую ось вращения.

Так как плоскость сечения перпендикулярна оси вращения i, линия сечения (окружность) проецируется:

  • в окружность на плоскость, перпендикулярную оси i;

  • в отрезок прямой – на плоскость, параллельную оси i;

  • в эллипс – на любую другую плоскость.




Эти особенности соосных поверхностей вращения позволяют использовать их, в частности сферу, в качестве посредников при построении линии пересечения поверхностей вращения. Любая поверхность вращения, ось которой проходит через центр сферы, соосна с ней и, следовательно, пересекает ее по окружности.

Теорема 4 (Теорема Монжа):

Если две поверхности второго порядка (квадрики) описаны вокруг третьей квадрики, то они пересекаются по двум плоским кривым второго порядка (коникам).




Рис. 6.22


В соответствии с этой теоремой, линии пересечения поверхностей, описанных около сферы, будут плоскими кривыми – эллипсами.

Построение линии пересечения поверхностей вращения в общем случае ведется с помощью дополнительных секущих поверхностей, в качестве которых могут быть использованы плоскости или сферы.

Секущие поверхности выбираются таким образом, чтобы с заданными поверхностями они пересекались по линиям, легко определяемым на КЧ.

Чтобы построить линию пересечения поверхностей на КЧ, необходимо:

  1. Ввести ряд вспомогательных плоскостей или сфер, пересекающих обе заданные поверхности.

  2. Построить линию пересечения каждой заданной поверхности со вспомогательной.

  3. В месте пересечения построенных таким образом линий определить точки искомой линии взаимного пересечения.

  4. Соединить полученные точки пересечения между собой с учетом видимости линии сечения.

Способ нахождения линии пересечения с помощью дополнительных плоскостей называется способом секущих плоскостей, а нахождение линии сечения с помощью дополнительных сфер – способом секущих сфер.

Каким бы способом не производилось нахождение линии пересечения, ее построение начинается с определения характерных точек сечения, а затем определяются промежуточные точки, необходимые для точности построения линии пересечения.

^ К характерным точкам линии пересечения относятся:

  1. точки, проекции которых лежат на проекциях контурных образующих (очерках) заданных поверхностей;

  2. «крайние» точки – правые и левые, наивысшие и наинизшие, ближайшие и наиболее удаленные.
^

6.8.2.1. Способ секущих плоскостей


Обычно в качестве секущих плоскостей используются плоскости уровня, т.к. линии пересечения их с заданными поверхностями проецируются на плоскость проекций без искажения. Также в некоторых случаях используются и проецирующие плоскости.

Этот способ применяют тогда, когда дополнительные плоскости рассекают заданные поверхности по окружностям-параллелям или прямым-образующим.

Пример: ^ Построить линию пересечения кругового конуса и сферы.



Рис. 6.23

Конус и сфера имеют общую плоскость симметрии , параллельную фронтальной плоскости проекций, с помощью которой находятся высшая и низшая точки линии сечения А и В. Эта плоскость пересекает конус по очерковым образующим l, а сферу – по главному меридиану m.

Обе поверхности содержат семейство параллелей, параллельных горизонтальной плоскости проекций, поэтому остальные точки линии сечения необходимо находить с помощью горизонтальных плоскостей уровня.

Точки C и D, лежащие на границе видимости, находятся с помощью плоскости , проходящей через экватор сферы. Эта плоскость, в свою очередь, пересекает конус по параллели n радиуса r.
^

6.8.2.2. Способ секущих концентрических сфер


Применение сфер в качестве поверхностей-посредников основано на теореме о двух соосных поверхностях вращения.

Следствие этой теоремы:

Сфера, центр которой лежит на оси поверхности вращения, пересекается с последней по окружностям.

Линия пересечения сферы с поверхностью проецируется на одну из плоскостей проекций в виде отрезков, а на другую – в виде окружности.





Рис. 6.24.

Этот способ может быть использован лишь при одновременном выполнении трех условий:

  1. Пересекающиеся поверхности – поверхности вращения.

  2. Оси поверхностей пересекаются.

  3. Поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную одной из плоскостей проекций.




Пример: ^ Построить линию пересечения конуса и цилиндра.

При решении этой задачи сначала строится фронтальная проекция линии пересечения, т.к. общая плоскость симметрии поверхностей параллельна фронтальной плоскости проекций.

«Крайние» точки сечения – высшая и низшая, ближайшая и наиболее удаленная точки (точки, лежащие на границе видимости относительно горизонтальной плоскости проекций) определяются с помощью плоскостей уровня.

Промежуточные точки сечения находятся с помощью секущих сфер, центр которых располагается в точке пересечения осей вращения поверхностей. Сфера минимального радиуса проводится так, чтобы она касалась одной поверхности, а вторую пересекала. Секущие сферы соосны с поверхностями конуса и цилиндра, а следовательно, пересекают их по параллелям.



Рис. 6.25
^

6.8.2.2. Способ секущих эксцентрических сфер


Метод секущих эксцентрических сфер может быть применен при соблюдении следующих условий:

  1. Одна из пересекающихся поверхностей циклическая, вторая – поверхность вращения.

  2. Поверхности должны иметь общую плоскость симметрии, параллельную одной из плоскостей проекций.

Сущность метода заключается в следующем: подбирается сфера, пересекающая обе заданные поверхности по окружностям. Точки пересечения этих окружностей будут являться искомыми точками линии сечения.

Пример: ^ Построить линию пересечения закрытого тора с открытым тором.

Заданные поверхности располагаются так, что их оси , , а фронтальная плоскость является плоскостью симметрии. С помощью этой плоскости находятся высшая и низшая точки сечения.




Рис. 6.26

Для построения промежуточных точек необходимо через ось тора провести фронтально-проецирующую плоскость, пересекающую тор по окружности 1-1.

,

.

О – центр сечения тора, из которого строится перпендикуляр к плоскости . На пересечении этого перпендикуляра с осью второго тора i находится центр первой секущей сферы. Радиус сферы подбирается таким образом, чтобы она пересекла тор по окружности 1-1.



Полученная сфера пересекает тор по параллели 2-2. На пересечении двух окружностей находятся искомые точки С и С.

Остальные точки находятся аналогично.
^

Лекция 12

7. АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ


При разработке проектно-конструкторской документации, наряду с ортогональными проекциями, применяются аксонометрические. Эти изображения, с одной стороны, пространственно наглядны, с другой – дают возможность измерений.

Сущность аксонометрического проецирования заключается в том, что геометрический объект, ориентированный определенным образом относительно ортогональной системы плоскостей проекций, проецируется вместе с осями проекций на новую плоскость, называемую аксонометрической или картинной. В результате этого проецирования получается одна аксонометрическая проекция (аксонометрия).
^

7.1. Принцип аксонометрического проецирования


Возьмем в пространстве прямоугольную систему координат 0xyz и точку А, связанную с этой системой. Спроецируем эту точку по направлению S на картинную плоскость .



Рис. 7.1

аксонометрические оси


При проецировании на картинную плоскость происходит искажение отрезков, параллельных осям проекций. Мерой этого искажения являются коэффициенты искажения – отношение длины отрезка, параллельного аксонометрическим осям, к его натуральной величине.

– коэффициент искажения по оси 0’x;

– коэффициент искажения по оси 0’y;

– коэффициент искажения по оси 0’z.
^

7.2. Виды аксонометрических проекций


В зависимости от направления проецирования (S) аксонометрические проекции подразделяются на:

  1. прямоугольные ;

  2. косоугольные (S ).

Каждый из этих видов проекций делится на три вида:

  1. Изометрия – коэффициенты искажений по всем осям одинаковы.



  1. Диметрия – коэффициенты искажений по двум осям одинаковы.

– горизонтальная диметрия

– фронтальная диметрия

– профильная диметрия

  1. Триметрия – коэффициенты искажений по трем осям различны.

.

Стандартными аксонометрическими изображениями являются прямоугольные изометрия и диметрия, а также косоугольные фронтальная и горизонтальная изометрии и фронтальная диметрия (ГОСТ 2.317-69).
^

7.3. Связь между коэффициентами искажений


Теорема:

Сумма квадратов коэффициентов искажений есть величина постоянная и не зависящая от положения ортогональных плоскостей проекций.

.

Пусть две ортогональные оси проекций совпадают с аксонометрической плоскостью. Спроецируем третью ось на эту плоскость по направлению S.



где угол между направлением проецирования и картинной плоскостью.



Рис. 7.2
^

7.4. Коэффициенты искажений прямоугольной аксонометрии


При , тогда

.

Коэффициенты изменяются в диапазоне .

– аксонометрическая плоскость перпендикулярна какой-либо оси.

– аксонометрическая плоскость параллельна какой-либо оси, тогда аксонометрическая проекция превращается в ортогональную.

Аксонометрические проекции не могут быть взяты параллельно или перпендикулярно осям проекций, а картинная плоскость должна пересекать все три плоскости проекций.

^ Прямоугольная изометрия

В изометрии , тогда уравнение связи коэффициентов имеет вид .


Таким образом, в прямоугольной изометрической проекции коэффициенты искажения по всем трем осям равны

.

Прямоугольная фронтальная диметрия

В стандартной диметрии принимают , а .

, , .

Следовательно, в прямоугольной фронтальной диметрии коэффициенты искажения по осям равны:

Kx 0,94, Kz 0,94, Ky 0,47.
^

7.5. Приведенные коэффициенты искажения


На практике, в целях сокращения вычислений, рекомендуется пользоваться приведенными коэффициентами искажений. При этом изображение строиться в масштабе , где коэффициент m называется коэффициентом приведения, а аксонометрия называется практической или приведенной.

Прямоугольная изометрия

,

.

Следовательно, в приведенной изометрии изображение увеличено в 1,22 раза.

Оси изометрической проекции располагаются под углом 120 друг к другу.

^ Прямоугольная фронтальная диметрия

,

,

.

^ Косоугольная фронтальная диметрия

В косоугольной фронтальной диметрии (кабинетная проекция) картинная плоскость располагается параллельно фронтальной плоскости x0z, а направление проецирования выбирают так, что коэффициент искажения по оси 0y равен 0,5. Поэтому в косоугольной аксонометрии нет необходимости использовать приведенные коэффициенты искажения.
^

7.6. Углы между аксонометрическими осями. Построение аксонометрических проекций геометрических элементов




Рис. 7.3

Для построения аксонометрической проекции точки при заданном направлении аксонометрических осей необходимо отложить на них действительные координаты этой точки с учетом коэффициентов искажений:

, , .



Рис. 7.4

Рассмотрим построение аксонометрических изображений окружностей, расположенных в плоскостях проекций.

Если в плоскости проекций или параллельной ей плоскости располагается окружность, то на картинную плоскость она спроецируется ортогонально в виде эллипса.



Проекцией окружности, параллельной плоскости проекций, в ортогональной аксонометрии является эллипс, большая ось которого перпендикулярна «свободной» аксонометрической оси, а малая – совпадает с этой осью.



Рис. 7.5





Рис. 7.6



Рис. 7.7

На рисунках 7.8 и 7.9 приведены примеры построения практической прямоугольной изометрии и практической прямоугольной и косоугольной диметрии цилиндрической детали с прямоугольным вырезом.



Рис. 7.8



Рис. 7.9

Содержание

Введение 3

Лекция 1 8

^ 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОСТРОЕНИЯ ЧЕРТЕЖА 8

2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ 11

Лекция 2 14

Лекция 3 27

^ 3. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ, ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ 27

Лекция 4 37

Лекция 5 40

4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ГЕОМЕТРИЧЕКСКИХ ОБЪЕКТОВ 40

Лекция 6 47

^ 5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ. ЧЕТЫРЕ ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ 47

Лекция 7 51

Лекция 8 54

6. ПОВЕРХНОСТИ 54

Лекция 9 61

Лекция 10 65

Лекция 11 69

Лекция 12 76

^ 7. АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ 76



Учебное издание


Савченко Нелли Вячеславовна


НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Конспект лекций


Учебное пособие


Редакторская обработка Ю.Н. Литвинова

Компьютерная верстка Н.В. Савченко

Подписано в печать 14.06.2011. Формат

Бумага офсетная. Печать офсетная.

Печ. л. 10,0

Тираж 100 экз. Заказ . Арт. .


Самарский государственный

аэрокосмический университет

443086, Самара, Московское шоссе, 34.

Изд-во Самарского государственного

аэрокосмического университета

443086, Самара, Московское шоссе, 34.

1 См. п.1.2. Основные свойства параллельного проецирования.

2 См. п/п 2.2.1. Положение прямой относительно плоскостей проекций.

3 В системе трех плоскостей проекций плоскость общего положения имеет три следа.

4 См. п. 1.2

5 Задача принадлежности рассматривалась в п. 3.3.


6 См. п/п 3.6.3





страница13/13
Дата конвертации24.10.2013
Размер0,78 Mb.
ТипКонспект
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rud.exdat.com


База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2012
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Документы