Плоскости по отношению друг к другу могут занимать два положения: быть параллельными или пересекаться. Параллельные плоскости не имеют ни одной общей точки. Если плоскости параллельны, то на КЧ параллельны их одноименные следы. На рисунке 3.11 изображены две параллельные плоскости: ![]() ![]() Рис. 3.11 Признак параллельности плоскостей: Плоскости параллельны, если пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым второй плоскости. ![]() ![]() Рис. 3.12 Если две плоскости не параллельны, то они обязательно пересекаются и результатом их пересечения является прямая. Рассмотрим сначала частные случаи пересечение двух плоскостей. Пример 1. Пересекаются плоскость общего положения ![]() ![]() Этот случай является основой для решения задач на пересечение плоскостей в общем виде. Так как одна из заданных плоскостей проецирующая, то все геометрические элементы, включая и линию пересечения плоскостей l, спроецируются на след этой плоскости. На КЧ горизонтальная проекция линии пересечения определяется исходя из принадлежности ее проецирующей плоскости ![]() ![]() ![]() Рис. 3.13 Пример 2. Пересекаются плоскости общего положения, заданные следами. ![]() Рис. 3.14 В этом случае следы плоскости пересекаются в пределах чертежа, следовательно, линия пересечения этих плоскостей строится по двум точкам, являющимся следами линии пересечения, которые находятся в точках пересечения одноименных следов плоскостей. ^ линии пересечения плоскостей в общем случае необходимо найти две точки, одновременно принадлежащие этим плоскостям, или одну общую точку, если известно направление линии пересечения. Направление линии пересечения известно в том случае, если:
Общая точка для двух пересекающихся плоскостей в общем случае определяется с помощью вспомогательной плоскости частного положения, также пересекающей заданные плоскости по прямой (рис. 3.15). ![]() Рис. 3.15 Общий случай: Пересекаются плоскости общего положения. ![]() ![]() Рис. 3.16 ![]() ![]() ![]() ^ Для прямой и плоскости возможны три случая их взаимного расположения:
Признак параллельности прямой и плоскости хорошо известен из курса стереометрии: Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, принадлежащей этой плоскости. ![]() Рис. 3.16 ^ Для улучшения наглядности изображений, заданных на КЧ, принято видимые для наблюдателя линии показывать сплошными, а невидимые – штриховыми линиями. При этом предполагается, что:
На рисунке 3.17 заданы две пары точек:
![]() Рис. 3.17 Необходимо определить видимость точек относительно горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций. ^ . Точки А и В, С и D называются точками, конкурирующими в видимости, а сам метод определения видимости – методом конкурирующих точек. Конкурирующими в видимости точками называются точки, лежащие на одном проецирующем луче, но принадлежащие разным геометрическим объектам. ^ Прямая называется пересекающей плоскость, если она имеет с ней только одну общую точку. Рассмотрим различные случаи пересечения прямой и плоскости. Частные случаи: Пример 1. Прямая – проецирующая, плоскость – частного положения. На КЧ необходимо построить проекции точки пересечения прямой с плоскостью и определить видимость этой прямой относительно горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций. Точка К должна одновременно принадлежать и прямой, и плоскости.
![]() ![]() Рис. 3.18 Пример 2. Прямая – общего положения, плоскость – проецирующая. ![]() Рис. 3.19 В данном случае фронтальная проекция точки пересечения лежит на следе плоскости ![]() Построение недостающей горизонтальной проекции точки пересечения сводится к задаче на принадлежность точки прямой: ![]() ^ Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения (первая основная позиционная задача). В общем случае задача на пересечение прямой с плоскостью решается с помощью вспомогательной секущей плоскости, на которую накладывается ряд условий:
![]() Рис. 3.20 Порядок нахождения точки пересечения прямой с плоскостью:
![]() ![]() Рис. 3.21 |