Конспект лекций Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Самара icon

Конспект лекций Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Самара



Смотрите также:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   13
^

3.5. Взаимное расположение плоскостей


Плоскости по отношению друг к другу могут занимать два положения: быть параллельными или пересекаться.

Параллельные плоскости не имеют ни одной общей точки.

Если плоскости параллельны, то на КЧ параллельны их одноименные следы. На рисунке 3.11 изображены две параллельные плоскости:

.



Рис. 3.11

Признак параллельности плоскостей:

Плоскости параллельны, если пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым второй плоскости.

.



Рис. 3.12

Если две плоскости не параллельны, то они обязательно пересекаются и результатом их пересечения является прямая.

Рассмотрим сначала частные случаи пересечение двух плоскостей.

Пример 1. Пересекаются плоскость общего положения и горизонтально-проецирующая плоскость , заданная следом.

Этот случай является основой для решения задач на пересечение плоскостей в общем виде.

Так как одна из заданных плоскостей проецирующая, то все геометрические элементы, включая и линию пересечения плоскостей l, спроецируются на след этой плоскости.

На КЧ горизонтальная проекция линии пересечения определяется исходя из принадлежности ее проецирующей плоскости , а фронтальная проекция – по принадлежности второй заданной плоскости.





Рис. 3.13

Пример 2. Пересекаются плоскости общего положения, заданные следами.



Рис. 3.14

В этом случае следы плоскости пересекаются в пределах чертежа, следовательно, линия пересечения этих плоскостей строится по двум точкам, являющимся следами линии пересечения, которые находятся в точках пересечения одноименных следов плоскостей.

^ Для построения линии пересечения плоскостей в общем случае необходимо найти две точки, одновременно принадлежащие этим плоскостям, или одну общую точку, если известно направление линии пересечения.

Направление линии пересечения известно в том случае, если:

  1. пересекающиеся плоскости содержат взаимно-параллельные прямые (линия пересечения плоскостей параллельна этим прямым);

  2. две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости (линия пересечения перпендикулярна этой плоскости).




Общая точка для двух пересекающихся плоскостей в общем случае определяется с помощью вспомогательной плоскости частного положения, также пересекающей заданные плоскости по прямой (рис. 3.15).



Рис. 3.15

Общий случай: Пересекаются плоскости общего положения.

.



Рис. 3.16

.
^

Лекция 4

3.6. Взаимное расположение прямой и плоскости


Для прямой и плоскости возможны три случая их взаимного расположения:

  1. прямая линия может принадлежать плоскости5;

  2. быть параллельна плоскости;

  3. пересекаться с ней.
^

3.6.1. Параллельность прямой и плоскости


Признак параллельности прямой и плоскости хорошо известен из курса стереометрии:

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, принадлежащей этой плоскости.



Рис. 3.16
^

3.6.2. Определение видимости на КЧ


Для улучшения наглядности изображений, заданных на КЧ, принято видимые для наблюдателя линии показывать сплошными, а невидимые – штриховыми линиями. При этом предполагается, что:

  1. плоскости и поверхности непрозрачны;

  2. луч зрения от наблюдателя всегда попадает перпендикулярно к той плоскости проекций, относительно которой определяется видимость.

На рисунке 3.17 заданы две пары точек:

  1. точки А и В, находящиеся на одном проецирующем луче, направленном перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций ;

  2. точки С и D, через которые проходит проецирующий луч, перпендикулярный фронтальной плоскости проекций .



Рис. 3.17

Необходимо определить видимость точек относительно горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций.

^ Если на КЧ какие-либо две проекции точек совпадают, то для наблюдателя будет видима та точка, проекция которой находится дальше от оси проекций.

Точки А и В, С и D называются точками, конкурирующими в видимости, а сам метод определения видимости – методом конкурирующих точек.

Конкурирующими в видимости точками называются точки, лежащие на одном проецирующем луче, но принадлежащие разным геометрическим объектам.
^

3.6.3. Пересечение прямой с плоскостью


Прямая называется пересекающей плоскость, если она имеет с ней только одну общую точку. Рассмотрим различные случаи пересечения прямой и плоскости.

Частные случаи:

Пример 1. Прямая – проецирующая, плоскость – частного положения.

На КЧ необходимо построить проекции точки пересечения прямой с плоскостью и определить видимость этой прямой относительно горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций.

Точка К должна одновременно принадлежать и прямой, и плоскости.

  1. Горизонтальную проекцию точки пересечения находим из условия принадлежности ее прямой i. Так как все точки, лежащие на горизонтально-проецирующей прямой, совпадают с ее следом: К1 i1.

  1. Определение фронтальной проекции точки пересечения сводится к задаче на принадлежность точки К плоскости :

.



Рис. 3.18

Пример 2. Прямая – общего положения, плоскость – проецирующая.



Рис. 3.19


В данном случае фронтальная проекция точки пересечения лежит на следе плоскости

.

Построение недостающей горизонтальной проекции точки пересечения сводится к задаче на принадлежность точки прямой:

.

^ Общий случай:

Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения (первая основная позиционная задача).


В общем случае задача на пересечение прямой с плоскостью решается с помощью вспомогательной секущей плоскости, на которую накладывается ряд условий:

  1. она должна быть плоскостью частного положения;

  2. должна проходить через заданную прямую



Рис. 3.20

Порядок нахождения точки пересечения прямой с плоскостью:

  1. Через прямую l проводится вспомогательная плоскость частного положения .

  2. Определяется линия пересечения вспомогательной плоскости с заданной плоскостью .

  3. На пересечении линии пересечения плоскостей с заданной прямой находится точка К, являющаяся искомой точкой.








Рис. 3.21




страница7/13
Дата конвертации24.10.2013
Размер0,78 Mb.
ТипКонспект
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   13
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rud.exdat.com


База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2012
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Документы