Краткий курс лекций лекция Введение Вопросы для рассмотрения: Обзор структур с низкоразмерным электронным газом icon

Краткий курс лекций лекция Введение Вопросы для рассмотрения: Обзор структур с низкоразмерным электронным газом



Смотрите также:
  1   2   3   4   5   6
Кафедра физической электроники и нанотехнологий


Белорусский государственный университет


доцент

ЖЕВНЯК Олег Григорьевич


ТЕОРИЯ КВАНТОВОРАЗМЕРНЫХ

ПРИБОРНЫХ СТРУКТУР


Для студентов


специальности:


1-31 04 02 Радиофизика


специализации:


1-31 04 02 08 Интеллектуальные технологии и материалы


КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ


Лекция 1.

Введение


Вопросы для рассмотрения:

1. Обзор структур с низкоразмерным электронным газом

2. Особенности электронного дрейфа в квантоворазмерных структурах

3. Тенденции развития наноэлектроники


Структуры с низкоразмерным электронным газом относятся к структурам наноэлектроники — науки, изучающей закономерности движения электронов в структурах с размерами от 100 нм до 1 нм.

К современным структурам наноэлектроники относятся:

1. Стандартные интегральные транзисторы с малыми размерами своих элементов (истоковых и стоковых областей, а также проводящих каналов и изолирующих диэлектриков).

1.1. Транзисторы с размерами элементов 100 нм и менее.

1.2. Транзисторы с низкоразмерным электронным газом.

1.3. Транзисторы с квазибаллистическим переносом носителей заряда.

2. Структуры на сверхрешетках.

2.1. Транзисторы с модулированным легированием.

2.2. Гетеролазеры.

2.3. Резонансно-туннельные диоды.

3. Наноэлектронные структуры на квантовых эффектах.

3.1. Твердотельные структуры.

3.1.1. Гибридные микро- и наноэлектронные структуры.

3.1.2. Структуры на кластерах.

3.1.3. Структуры одноэлектроники.

3.1.4. Структуры спинтроники.

3.2. Структуры молекулярной электроники.

3.2.1. Структуры на углеродных фуллеренах.

3.2.2. Структуры на углеродных нанотрубках.

3.2.3. Структуры на органических сложномолекулярных цепях.

Развитие физики нанообъектов сегодня может быть разделено по следующими направлениям

  • физика наночастиц;

  • химия наночастиц;

  • материаловедение наночастиц;

  • нанотехнологии;

  • методы нанодиагностики;

  • наноэлектроника;

  • нанооптика;

  • наномеханика;

  • микро- и наноэнергетика;

  • биомедицинские нанотехнологии.

Физика и химия наночастиц и материаловедение наночастиц ориентированы на изучение физических и химических свойств объектов с размерами в несколько десятков или сотен атомов и имеющих размеры в несколько нанометров, а также анализ способов их получения. Нанотехнологии в основном связаны с разработкой технологических приемов получения приборных структур с нанометровыми размерами, а также приборов в которых в качестве основных рабочих участков, например, проводящих каналов используются наночастицы. Методы диагностики связаны с разработкой приемов анализа химического состава и геометрической структуры объектов и приборов нанометрового размера, а также изучением их электрических, механических и оптических свойств. Развитие наноэлектроники ориентировано на исследование особенностей протекания электронных процессов в нанометровых условиях, т.е. в структурах с нанометровыми размерами активных областей.


Лекция 2.

Электроны в квантовой яме


Вопросы для рассмотрения:

1. Уравнение Шредингера

2. Квантование энергии

3. Волновые функции


В случае, когда электрон находится в прямоугольной яме, у него может случиться волновая локализация, сопровождающаяся запретом движения в направлении поперек ямы и квантованием энергии. Это произойдет, если де Бройлевская длина волны электрона станет меньше ширины ямы — , где – постоянная Планка, – скорость электрона, – ширина ямы. Теперь электрон может находиться только на каком-то из уровней размерного квантования, обозначаемых , где i может принимать значения 1, 2, 3 … , а его волновые свойства будут определяться волновой функцией , изменяющейся вдоль направления ширины ямы. Как известно из квантовой механики, величины и удовлетворяют уравнению Шредингера



Здесь величина есть значение потенциальной энергии в яме, а направление поперек ямы (вдоль ) выбрано за ось Z.

Рассмотрим квантование энергии электрона в яме с бесконечной высотой барьеров и нулевым значением потенциальной энергии .




Для данной ямы перепишем уравнение Шредингера в виде


.


Вводя обозначение , получим стандартное дифференциальное уравнение второго порядка

.

Его решения известны и имеют вид . Параметры и — неизвестны, однако их можно найти из предварительных рассуждений, связанных с физическими закономерностями. Волновая функция фактически есть функция, задающая места расположения электрона. Очевидно предположить, что на стенках потенциальной ямы и за ее пределами электрона нет, тогда можно записать так называемые граничные условия для функции : и . Наложив первое условие на найденное решение уравнения Шредингера, получим . Отсюда либо , либо . Но первый случай исключен, так как тогда . Поэтому и решение принимает вид . Подставив второе граничное условие, получим . Синус равен нулю, если его аргумент кратен . Следовательно , где i = 1, 2, 3 … . Это условие и есть условие появления квантования в яме:

.

Но так как согласно введенному обозначению , то для энергии в яме получим

.

Чтобы найти параметр , необходимо воспользоваться условием нормировки волновой функции электрона, которое имеет тот физический смысл, что где-то в пространстве рассматриваемый нами электрон обязательно находится, т.е.

.

Электрон локализован в яме шириной , поэтому интеграл можно считать только по этой ширине, т.е.

.

Интеграл — табличный и равен . Подставив это значение, получим

.

Отсюда окончательно имеем , а для волновой функции в яме

.

Мы рассмотрели яму только вдоль одного направления Z. В ней формируется так называемый двумерный электронный газ (2D). Однако данные вычисления справедливы и для двух и для трех направлений, если в них будут существовать однотипные рассмотренной прямоугольные ямы со стенками бесконечной высоты. В первом случае получается одномерный электронный газ (1D), а во втором — нульмерный (0D). При этом ширина ямы в каждом из направлений квантования может быть разной.

Для 1D-газа тогда можно записать

, , i, l — квантовые числа, (= 1, 2, 3 …),

,

.

Для 0D-газа эти выражения перепишутся уже с учетом трех направлений

, , , i, l, p — квантовые числа, (= 1, 2, 3 …),

,

.

Для 1D- и 0D-газа энергетический спектр станет достаточно сложным и запутанным. При различии величин , и индексы в определении уровня квантования станут не равноправными, и, например, уровень не будет равен уровню . Еще более запутанней ситуация может стать в полупроводниках с анизотропией массы проводимости (когда масса по разным направлениям движения различна), как, например, в кремнии. Тогда значения уровней квантования будут определяться согласно

, (2D-газ),

, (1D-газ),

, (0D-газ).


Лекция 3.

Электроны в квантовых ямах сложной формы


Вопросы для рассмотрения:

1. Квантование энергии в линейном осцилляторе

2. Квантовые ямы сложной прямоугольной формы

3. Квантовые ямы треугольной формы


Квантовые ямы, однако, могут быть как прямоугольными, так и произвольной формы. Обычно наиболее распространенными формами являются три — 1) две прямоугольные (одна широкая прямоугольная с узкой внутри себя), 2) гармонического осциллятора, 3) треугольной формы.

На рисунке ниже представлена энергетическая диаграмма исследуемой ямы. Она характеризуется тремя параметрами: шириной широкой части, равной 2l, шириной узкой части (провала), равной 2d, и глубиной провала, равной U. Наружные стенки ямы полагаются бесконечно высокими. Обычно получить такие ямы проще всего на основе арсенид галлиевых сверхрешеток. Поэтому будем рассматривать далее арсенид галлиевую яму, для которой .




Значение двух самых нижних уровней размерного квантования можно отождествить с волновым вектором электрона, связанным с этим уровнем, согласно известным соотношениям и . В данной яме с каждым из волновых векторов и также связана своя волновая функция, определяющая пространственное расположение электронов находящихся на уровнях и в яме. Из условий, налагаемых на эти волновые функции, вытекают два трансцендентных уравнения для и в следующем виде



и

.

Решив эти уравнения относительно и и подставив значения волновых функций в соотношения для энергий и , рассчитываются значения двух нижних уровней размерного квантования в исследуемой яме.

Во втором типе ям значения уровней равны .

В третьем типе ям значения уровней равны , где , т.е. отношение высоты треугольной ямы к ее максимальной ширине.


Лекция 4.

Туннелирование электронов через потенциальный барьер


Вопросы для рассмотрения:

1. Прохождение электронов над ступенькой

2. Туннелирование электронов через прямоугольный барьер

3. Туннелирование электронов через барьер в виде двойной ступеньки


Движение электронов в структурах наноэлектроники фактически всегда представляет собой движение вдоль потенциальных барьеров различной формы или сквозь них. В структурах наноэлектроники движение электрона над потенциальным барьером отличается от движения частиц в объемных средах. Если во вторых носители заряда практически не замечают таких барьеров — и ток через них переносится без потерь, то в нанометровых условиях потери возникают. Рассмотрим данный случай подробнее.






Здесь исследуемую структуру следует разбить на две области — I и II. В первой волновой вектор электрона определяется согласно , во второй — . Волновые функции электрона для каждой из областей можно записать в виде




,

(3.1)




.

(3.2)


Функция фактически представляет собой суперпозицию падающей и отраженной волн де Бройля электрона, а функция — прошедшую волну . Величина является амплитудой электронной волны, распространяющейся от источника электронов к барьеру, величина — амплитудой рассеявшейся от ступеньки назад электронной волны, распространяющейся от ступеньки к источнику, и величина — амплитудой прошедшей электронной волны, распространяющейся над ступенькой.

Если бы электрон рассматривался строго как частица, то при E1 < U2 он бы отразился от ступеньки, а при E1 > U2 — свободно пролетел бы над ней (как обычный детский мячик, брошенный в препятствие в виде ступеньки). Но в силу наличия волновых свойств у электрона аналогом его механического движения над ступенькой является плотность потока вероятности . Величина является физическим эквивалентом числа электронов подлетевших к ступеньке, величина — эквивалентом числа электронов отразившихся от ступеньки назад и величина — эквивалентом числа электронов пролетевших над ступенькой вперед. Отношение имеет смысл коэффициента прохождения D электронами с энергией E1потенциального барьера в виде ступеньки, а отношение — смысл коэффициента отражения ^ R электронов с энергией E1от данного барьера. Очевидно, что в случаях, когда будет равна 0, волновыми свойствами электрона можно пренебрегать и рассматривать его только как корпускулу.

В квантовой механике выводится следующее соотношение для плотности потока вероятности электронной волны:




.

(3.3)

Следовательно, для величин D и R мы можем записать




,

(3.4)




.

(3.5)

Равенство 0 величин и R возможно только при . Проверим это.

Распишем (3.4) и (3.5) для первого случая (ступеньки), подставляя (3.1) и (3.2) и помня, что комплексно сопряженная функция для исходной получается заменой множителя (i) везде на множитель (–i). Получим следующие соотношения:




,

(3.6)




.

(3.7)

Помня, что , и , рассчитаем числители в (3.6) и (3.7) и их знаменатель. Для числителей получим и , для знаменателя — .

Окончательно для величин D и R получим:




,

(3.8)




.

(3.9)

Из соотношения (3.9) видно, что R = 0 (и = 0) только при = 0. Точные значения амплитуд , и можно установить с помощью специальных условий, накладываемых на волновые функции электронов в каждом конкретном случае. Обычно эти условия связаны с граничными условиями или законами сохранения. В рассматриваемом случае ступеньки мы можем воспользоваться двумя условиями — 1) равенством функций и в точке x = 0, так как они непрерывны и должны в этой точке переходить одна в другую, 2) законом сохранения электронного потока, так как число электронов, долетевших до ступеньки, должно равняться числу отраженных от нее плюс числу прошедших над ней. Математически эти условия записываются следующим образом:




,

(3.10)




.

(3.11)

Уравнений — два, а неизвестных — три. Точные значения амплитуд найти не удается, однако можно использовать как параметр и выразить и через . Подставим (3.10) в (3.11). Слегка преобразовав, получим квадратное уравнение относительно переменной :




.

(3.12)

Так как есть амплитуда волны — ее значение всегда положительно (амплитуда по определению есть модуль максимального отклонения). Значит, имеем одно решение квадратного уравнения в виде:




.

(3.13)

Подставив это решение в (3.10) для получим:




.

(3.14)

Из соотношений (3.13) и (3.14) легко выделить дроби и , подставив которые в (3.8) и (3.9), для исследуемого случая получим следующие выражения для D и R:




,

(3.15)




.

(3.16)

Анализируя (3.16), очевидно сделать вывод, что R = 0 только при , что выполняется, если ступенька отсутствует. Если же она есть, даже хотя бы самой мельчайшей высоты, вероятность того, что электрон может от нее отразиться, отлична от нуля. Например, если высота ступеньки в 10 раз меньше энергии электрона (), то вероятность события, что электрон рассеется от такой ступеньки, будет равна почти 0.0007, при соотношении — уже 0.03.

Суммирование (3.15) и (3.16) подтверждает достоверность того, что при столкновении со ступенькой электрон должен либо рассеяться от нее, либо преодолеть ее, так как




=1

(3.17)

(т.е. ).

При движении над потенциальной ямой глубиной электрон точно также может как свободно пролететь дальше с вероятностью , так и отразится от данной ямы с вероятностью . Значения этих вероятностей можно рассчитать с помощью следующих формул:

,

,

где – ширина ямы.


Лекция 5.

Туннелирование электронов через двухбарьерные резонансно-туннельные структуры


Вопросы для рассмотрения:

1. Туннелирование электронов через систему двух одинаковых барьеров

2. Туннелирование электронов через систему двух одинаковых барьеров и потенциальной ямой между ними

3. Резонансное туннелирование электронов через симметричную двухбарьерную структуру


На рисунке ниже схематически представлена энергетическая схема двухбарьерного резонансно-туннельного диода и показано протекание туннельного тока. Данный диод создается на основе арсенида галлия. При этом обычно области эмиттера состоит из p-GaAs, а коллектора — n-GaAs. При подаче на диод напряжения электроны начинают активно туннелировать через два потенциальных барьера и формировать электрический ток.




Плотность туннельного тока






Эмиттер


Коллектор


Напряжение U

Туннельный ток составляют электроны с разной энергией. Электроны с конкретной энергией Е создают туннельный ток величиной

,

где =0.067, , , =21012 м–3 – собственная концентрация в арсениде галлия, – постоянная Больцмана, – температура, а есть коэффициент прозрачности двухбарьерной структуры для электронов с энергией Е. Значение этого коэффициента можно рассчитать согласно.

,

где , , ^ L – высота барьеров, W – расстояние между ними.





страница1/6
Дата конвертации24.10.2013
Размер1.01 Mb.
ТипЛекция
  1   2   3   4   5   6
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rud.exdat.com


База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2012
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Документы