Учебное пособие для учителя математики и экономики icon

Учебное пособие для учителя математики и экономики



Смотрите также:
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   19
^

§4. Определенный интеграл и его приложения


Действие, обратное дифференцированию, называется интегрированием. Если с помощью дифференцирования ищется производная, то обратное действие –
^

интегрирование, означает: задана производная функции, требуется найти функцию.


Вычисление определенного интеграла сводится к нахождению первообразной функции, т. е. неопределенного интеграла, поэтому правила нахождения определенного интеграла аналогичны правилам вычисления неопределенного интеграла.

Рассмотрим приложения определенного интеграла к решению математических задач с экономическим содержанием.

1. Продукция, произведенная рабочим в интервале времени от a до b часов рабочего дня, вычисляется по формуле:

(1)

где f (x) – производительность труда рабочего в момент времени x, отсчитываемый от начала рабочего дня.

2. Количество товара, поступающего на склад в промежутке времени от a до b, вычисляется по формуле (1), где f (x) – среднее количество товара, поступающего на склад за единицу времени.

3. Расход электроэнергии в течение времени от a до b часов вычисляется по формуле (1), где f (x) – нагрузка на электростанцию в кВт/ч (т. е. средний расход электроэнергии за единицу времени), а x – число часов, отсчитываемое от начала суток.

Пример 1. Производительность труда рабочего приблизительно выражается функцией: где x – выпуск продукции за 1 час. Вычислить объем выпуска продукции в течение года, считая количество рабочих дней равным 240.

Решение

Объем выпуска продукции рабочим в течение смены выразится интегралом:

а объем выпуска продукции в течение всего года равен:



39425 (шт.)

Пример 2. На складе запас некоторого товара насчитывается 100 единиц, а ежедневно поступающий товар приблизительно выражается функцией , где x – количество дней. Определить количество товара через 40 дней.

Решение

Обозначим количество товара через W. Тогда через 40 дней количество товара будет

.

Вычислим этот интеграл



1870 (шт.).

Пример 3. Поступление товара на склад выражается функцией , а реализация y1=56 – 0,4x+0,003x2, где 1-количество дней. Определить запас товара по истечению 2-х месяцев.

Решение

Запас товара выразится уравнением

,



(ед.).

Пример 4. Предположим, что машиностроительная промышленность выпускает в год 31000 станков, а затем увеличивает выпуск на 55 штук ежегодно. Определить сумму амортизационных отчислений за 10 лет при норме амортизации равной 10%.

Решение

Исходя из условий задачи, выпуск станков можно выразить формулой , где x – число лет. Тогда объем выпуска продукции за 10 лет выразится интегралом:

,

а амортизационные суммы составят:

(руб.).

Пример 5. Потребность электроэнергии для предприятия приблизительно выражается функцией , где x – число часов в сутки. Вычислить стоимость электроэнергии, расходуемой предприятием в течение суток, если стоимость 1 кВт/час равна 2 руб.

Решение

Расход электроэнергии предприятием в течение суток составит:



7747,2 (кВт/ч).

Стоимость электроэнергии будет(руб.).

^ Теорема о среднем значении интеграла

Пусть функция непрерывна в замкнутом интервале [а; в] и принимает только положительные значения, т. е. , где m – минимальное значение, а M – максимальное, тогда: .

Так как выражает площадь фигуры между кривой , осью абсцисс ox и ординатами в точках кривой , то справедливо неравенство: ,

т. е. интеграл принимает промежуточное значение между и Существует число , для которого

. Отсюда выражает среднее значение функции и интервале [а; в].

Пример 6. Переменные издержки производства продукции определяются формулой , где x – количество продукции. Найти средние издержки производства продукции, если объем составляет 6–10 единиц.

Решение

Среднее значение функции можно определить из формулы

=16 (руб.).

Средние издержки производства продукции составляют 16 руб.

Пример 7. Производительность труда рабочего в течение смены приблизительно выражается функцией y=0,1x2 – x + 17, где x – число часов. Определить среднюю производительность рабочего.

Решение

Средняя производительность рабочего определяется из формулы

.

Подставив значения из условия задачи, получим:

.

Следовательно, средняя производительность труда рабочего равна 15,2 единицы продукции.

§5. Составление экономико-математических моделей

Многие выпускники средних общеобразовательных школ, профессионально-технических училищ, высших учебных заведений идут на производство, где часто проводятся экспериментальные работы, результаты которых требуют проведения математической обработки, установления соответствующей зависимости между изучаемыми явлениями. Такими зависимостями могут быть результаты какого-нибудь эксперимента, а также данные наблюдений или измерений, записанные в виде таблицы. Ставится задача: установить эту зависимость между переменными в виде функции, наиболее близко отражающей ее. Получение таких функций облегчает проведение анализа изучаемой зависимости. Соответствующие функции называются эмпирическими. При подборе эмпирических функций пользуются так называемым методом наименьших квадратов, который основан на том, что из множества функций, которые наилучшим образом связывают значения переменных, выбирается та, для которой сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от вычисленных – наименьшая.

При подборе приближающей функции (составлении математической модели) основываются на особенности точечного расположения табличных данных.

Пусть согласно табличным данным приближающую функцию (математическую модель), описывающую зависимость между переменными, будем искать в виде функций y = ax + b, т. к. нанесенные точки на плоскость близки некоторой прямой, но числовые параметры а и b неизвестны. Имеем

(1)

Находим частные производные и приравниваем к нулю.

(2)

или

(3)

;

Решая систему (3), найдем неизвестные параметры а и b.

,

Пример 1. Данные производства молочных продуктов с 2000г. по 2009 г. в Ставропольском крае приведены в таблице


х – годы

1

2

3

4

5

y – продукты (т)

99115

116650

139970

149510

174700

х – годы

6

7

8

9

10

y – продукты (т)

200165

214645

220820

226885

231825


Составить экономико-математическую модель производства молочных продуктов.

Решение

Составим полную таблицу.

x

x2i

yi

xiyi

1

2

3

4

1

1

99115

99115

2

4

116650

233300

3

9

135970

407910

4

16

149510

598040

5

25

174700

873500

6

36

200165

1200990

7

49

214645

1502515

8

64

220820

1766560

9

81

226885

2041965

10

100

231895

2318950

S 55

385

1770355

11042845

1/10 S 5,5

38,5

177035,5

1104284,5



С
огласно формулы (3), приведенной на с.123, получим систему уравнений:


отсюда, а =15829; b = 89976.

Следовательно, экономико-математическая модель имеет вид:

y (x) = 15829 х + 89976.

Если ищем эмпирическую формулу для функции вида у = ах2 + bх + с, то сумма:

,

являющаяся функцией трех переменных а, в, с будет принимать наименьшее значение тогда, когда частные производные по каждой переменной будут равны нулю, т. е.

, . Находим:



Систему запишем в виде:



где i пробегает значения от 1 до n.

Пример 2. Разработка грунта II категории экскаватором ЭК-652 в течение всего рабочего дня задана таблицей.


х – часы

1

2

3

4

5

6

7

8

V – объем (м3)

74

88

96

104

98

85

78

66


Составить экономико-математическую модель, наилучшим образом описываю- щую эти данные.

^ Решение

Приближающую функцию будем писать в виде: V = ах2 + bх + с (на основе построения точечного расположения графика).

После соответствующих вычислений, получим систему:



Отсюда

а » –2,42; b » 20; с » 57,64.

Следовательно, искомая экономико-математическая модель имеет вид: V = –2,42х2 + 20х + 57,64.

Задачи

1. Из квадратных кусков листового железа со стороной а изготовляют коробок без крышек, вырезая по углам четыре квадратика так, чтобы из оставшейся части после сгибания изготовить коробки наибольшего объема. Каковы должны

быть размеры сторон вырезаемых квадратиков? (Рис. 12)

2. Внутреннюю поверхность резервуара емкостью 4 м3 с квадратным основанием, открытого сверху, нужно покрыть оловом. Каков должен быть размер резервуара, чтобы израсходовать минимальное количество олова? Толщиной стенок пренебречь.

3. Под экспериментальные посадки ценных культур решили огородить участок прямоугольной формы длиной 144 м и шириной 24 м, а затем разделить его пополам перпендикулярно длине. Но в целях экономии средств на постройку забора решили найти наиболее выгодный размер участка. Найти длину и ширину нового участка такой же площади и рассчитать экономию средств, если 1 погонный метр забора стоит 85 руб.

4. Стоимость топлива, необходимого для движения океанского танкера, пропорциональна кубу его скорости и составляет 400 руб. в час при скорости 10 узлов. Все другие виды расходов составляют 1640 руб. в час. Найти экономию денежных средств при движении танкера с наиболее экономичной скоростью, если до порта назначения 1000 морских миль

( 1 узел равен 1852 м/ч).

5. Под посевы овощных культур выделили земельный участок прямоугольной формы площадью 3,24 га и вдоль всей границы окопали рвом. Найти размер участка, чтобы стоимость рва была наименьшей. Вычислить стоимость рва, если погонный метр его обходится в 50 руб.

6. Земельный участок прямоугольной формы, расположенный вдоль прямого берега реки, нужно огородить с трех сторон изгородью. Вычислить минимальную стоимость изгороди, если погонный метр ее обходится в 10 руб., а площадь земельного участка равна 4,5 га.

7. Стоимость топлива, необходимого для движения океанского пассажирского судна, пропорциональна кубу его скорости и составляет 800 руб. в час при скорости 10 узлов. Все другие виды расходов составляют 2000 руб. в час. Найти наиболее экономичную скорость движения танкера и вычислить экономию денежных средств за рейс в 4000 морских миль. Экономичную скорость вычислить с точностью до 0,1 узла.

8. Прямоугольный участок земли в 90000 м2 нужно окопать вдоль всей границы рвом. Каков должен быть размер участка, чтобы на выкапывание рва израсходовать минимум средств?

9. Требуется построить канал, имеющий в сечении форму равнобедренной трапеции, основание и боковые стороны которого имеют по 8 м. Какова должна быть ширина канала, чтобы он вмещал наибольшее количество воды?

10. Какой нужно взять размер цилиндрического сосуда емкостью p м3, открытого сверху, чтобы на его изготовление потребовалось наименьшее количество материала?

11*. Расход угля в час катером составляет: z = 0,3 + 0,001v3, где v – скорость катера. Найти наиболее экономичную скорость катера.

12*.Требуется изготовить открытый цилиндрический резервуар заданного объема V. Стоимость материала, из которого делается его дно, в n раз больше стоимости материала, из которого делается боковая стенка. При каких соотношениях высоты резервуара и радиуса его основания стоимость резервуара будет наименьшей?

13. Функция полных издержек производства имеет вид K = x36x2 + 15х, 20 х – объем производства продукции в условных единицах для данного производства. Определить, при каком объеме производства продукции средние издержки имеют наименьшее значение.

14. Резервуар для перевозки жидкостей имеет форму цилиндра объемом V. Каков должен быть размер цилиндра, чтобы стоимость материала для его изготовления была минимальной?

15. Из отходов основного вида производства, представляющих листовое железо прямоугольной формы со сторонами 80 и 50 см, делают открытые сверху ящики наибольшего объема, вырезая по углам равные квадратики и затем, загибая жесть, чтобы образовать боковые стенки. Каковы должны быть стороны вырезаемых квадратиков?

16. Известно, что расход топлива пропорционален кубу скорости судна и составляет 880 руб. в час при скорости 10 узлов. Содержание экипажа и амортизационные отчисления составляют 4400 руб. в час. Найти наиболее экономичную скорость равномерного движения судна и вычислить экономию денежных средств, если известно, что расстояние до порта назначения 1500 морских миль.

17. Требуется покрасить цинковыми белилами наружную поверхность резервуара цилиндрической формы объемом 785 м3. Пpи каком размере резервуара расходуется минимальное количество краски? Вычислить стоимость покраски резервуара, если стоимость краски и покраски 1 м2 составляет 24 руб.

18. Одна сторона прямоугольного участка земли примыкает к берегу канала, а три другие огораживаются забором. Каковы должны быть размеры этого участка, чтобы его площадь равнялась 800 м2, а длина забора была наименьшей?

19. В прямоугольном листе картона длиной 48 см и шириной 30 см вырезаются по углам одинаковые квадраты, и из оставшейся части склеивается открытая прямоугольная коробка. Какова должна быть сторона вырезаемых квадратов, чтобы объем коробки был наибольшим?

20. Сечение шлюзового канала имеет вид прямоугольника, заканчивающегося полукругом. При каком радиусе полукруга площадь поперечного сечения канала будет максимальной, если периметр сечения равен 9 м ?

21. Из круга вырезать такой сектор, чтобы, свернув его, получить конус с наибольшим объемом.

22. Завод А расположен на расстоянии а км от железной дороги, идущей в город В, и на расстоянии b км от города В. Под каким углом к железной дороге следует провести шоссе с завода А, чтобы доставка грузов из А в В была наиболее дешевой, если стоимость перевозок по шоссе в k раз дороже, чем по железной дороге?

23. Керосиновая цистерна, имеющая форму цилиндра, завершенного конусом, должна быть построена на круглом фундаменте, и иметь заданный объем. Определить наименьшее количество материала для постройки цистерны, если угол при вершине осевого сечения конуса будет равен 2 arccos (2/3) » 96°.

24. Водный канал должен иметь заданную глубину и заданную площадь поперечного сечения. Если поперечное сечение есть равнобедренная трапеция, то каким должен быть угол наклона ее боковых сторон, чтобы при движении воды по каналу потери на сопротивление трения были наименьшими, т. е. чтобы сумма нижнего основания и боковых сторон трапеции была наименьшей?

25. Из прямоугольного куска жести шириной 42 см и длинной 108 см изготовляются ящики, для чего в углах жести вырезают квадраты, затем закрывают выступающие края и паяют кромки. Определить, какой величины следует вырезать квадраты, чтобы вместимость ящика была наибольшей.

26. Требуется вырыть яму цилиндрической формы с круглым основанием и вертикальной боковой поверхностью заданного объема V = 95 м3. Каковы должны быть линейные размеры ямы, чтобы на облицовку ее дна и боковой поверхности пошло минимальное количество материала?

27. Открытый бассейн с квадратным дном имеет форму прямоугольного параллелепипеда, его объем равен 6125 м3. Вычислить стоимость облицовки его стен и дна, если стоимость 1 м2 равна 1,2 руб.

28. По прямой АВ проходит железнодорожный путь. На расстоянии от пути находится пункт С, из которого следует перевезти груз в пункт А, чтобы транспортные расходы были наименьшими. Известно, что издержки по перевозке 1 т груза автотранспортом, в 1,5 раза выше, чем издержки по железной дороге. Найти расстояние от пункта А до пункта С.

29. Зависимость урожая от количества внесенного удобрения в тоннах выражается функцией Z = 30 + 0,3х + 2, 0. Часть издержек на каждый центнер зерна, не зависящая от урожайности, составляет 2500 руб., а другая часть, пропорциональная урожаю – 105руб. Найти зависимость себестоимости урожая от количества внесенного в почву удобрения.

30. На заводе 80 тыс. рабочих. Каждый работает с годовой производительностью труда 20 единиц продукции. Скорость роста числа рабочих происходит до 4 тыс. в год, а производительности труда – 10 единиц в год. Определить объем выпуска продукции при такой скорости роста числа рабочих и производительности труда.

31. По плану предусмотрено выпустить 800 тыс. единиц продукции. Количество рабочих, занятых производительным трудом, равно 10 тыс. человек, и увеличивается ежегодно на 0,1 тыс. Средний выпуск продукции каждого рабочего составит 62 ед. в год. При какой скорости роста производительности труда можно выполнить план досрочно?

32. Функция спроса . Определить эластичность спроса относительно цены, где q – спрос, p – цена, 1

При какой цене p выручка будет максимальной?

33. Определить цену, при которой спрос и предложения уравновешивают друг друга, а также относительную производную спроса и предложения, если

, 5

34. Цена товара связана со спросом функцией

, 5

Определить выручку от продажи товара, а также предельную выручку при цене: а) p = 7; б) p = 13.

35. Сменная производительность труда бригады рабочих описывается функцией , 1, где t – время в часах. Определить объем выпуска продукции в течение года (за 240 рабочих дней), если смена длится 7 ч. Вычислить прибыль, если заводская оптовая цена единицы продукции равна 6000 руб., ее себестоимость 4000 руб., а количество бригад –10.

36. Потребление электроэнергии (в кВт) городскими предприятиями и населением города приближенно описывается функцией: , 0 где t – время в часах. Вычислить стоимость электроэнергии, потребляемой городом в течение суток, если стоимость 1кВт/ч равна 2 руб.

37. Поступление товара на склад описывается функцией , а реализация этих товаров торгующей организацией описывается функцией , 0где t – количество дней. Определить запас товара в условных единицах по истечении 60 рабочих дней, если исходного товара на складе не было.

38. Завод выпускает 40000 единиц в год определенного вида продукции. А каждый последующий год выпуск продукции непрерывно увеличивается на 1000 единиц. Определить сумму амортизационных отчислений за 10 лет при норме амортизации, равной 1,2% от себестоимости выпускаемой продукции, если себестоимость одной единицы продукции 120 руб.

39. Улов рыбы на рыболовном судне в течение месяца приблизительно выражается функцией , где x – количество улова в тоннах за 1 день. Определить количество улова за 26 дней.

40. На складе имеется 200 единиц некоторого товара. Поступление товара выражается функцией у = 45-, 0 где x-количество товара. Определить запас товара по истечении 2-х месяцев.

41. Потребность электроэнергии 3-х предприятий в течение суток приблизительно выражается функцией , 0где время в часах. Вычислить стоимость электроэнергии в течение 15 суток, если стоимость 1 кВт/ч равна 2 руб..

42. Производительность труда бригады в течение смены приблизительно выражается функцией 0 x- количество производимой продукции за 1 час. Определить среднюю производительность труда бригады.

43. Опытные данные значений х и у представлены в виде таблицы:



х

1

2

3

4

5

6

у

13

9

5

1

–7

–9


Составить математическую модель, связывающую наилучшим образом переменные х и у.

44. Функция задана таблицей. Составить экономико-математическую модель зависимости функции от аргумента с использованием компьютерной технологии.


x – часы работы экскаватора

1

2

3

4

5

6

7

8

y – объем (м3)

84

89

96

105

98

86

74

68




х – рабочее время (ч)

1

2

3

4

5

6

7

8

у – объем (шт.)

33

42

36

32

37

41

36

31




х – время (г.)

1

2

3

4

5

6

7

8

У– продукты (т)

9115

16650

35970

49510

74700

90165

120820

131825




х – рабочее время (ч)

1

2

3

4

5

6

7

8

у – выпуск продукции (шт.)

125

130

141

150

145

130

125

118




х – скорость движения (км/ч)

40

50

60

70

80

90

100

110

120

у – расход горючего на 100 км пути (л)

16

17

16,5

14,5

15

15,5

16

19

19,5




х – время (мес.)

1

2

3

4

5

y – медосбор пчелиной

семьи (кг)

10

12

16

13

11



х – время (г.)

1

2

3

4

5

6

7

у – рост населения (чел.)

2062818

2164514

2186994

2200450

2228696

2254614

2273768



Глава IV. ^ ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЧНЫХ МОДЕЛЕЙ В ЭКОНОМИКЕ

§1. Матрицы и действия над ними

Экономико-математические модели, которые широко применяются в экономических исследованиях, производственной сфере, при анализе экономических явлений, предназначены для описания взаимосвязи различных экономических структур. Одним из наиболее универсальных математических аппаратов для компактного описания таких структур является матричная алгебра. Теория матриц находит широкое применение в экономических исследованиях и, в особенности, в планировании производства, значительно облегчая работу. Её трудоёмкость позволяет оперативно разработать разные варианты производственного плана, упрощает и облегчает изучение и установление зависимости между разными экономическими показателями.

Методы матричной алгебры в настоящее время широко применяются в различных экономических расчётах, связанных с определением валового объёма выпускаемой продукции, совокупных затрат труда, цен продукта, размеров капитальных вложений, себестоимости продукции и мн. др.

В экономической сфере страны, где всё взаимосвязано, очень часто выпуск готовой продукции для той или иной отрасли народного хозяйства страны зависит от поставок не только внутри цехов одного и того же завода, фабрики предприятия, но и между различными заводами, фабриками, предприятиями целого города, различных городов, районов, областей, республик. Поэтому успешное выполнение плановых заданий в различных регионах в нашей стране зависит от своевременных поставок сырьевых ресурсов, запчастей, уже готовых изделий (полуфабрикатов) и многое другое. Срыв таких поставок ведёт к невыполнению намеченного плана, неисчислимым экономическим потерям в масштабе всей страны. Это должен помнить каждый из нас.

Сказанное выше хорошо описывается, успешно решается и изучается с помощью такого математического аппарата, как теория матриц, соединяющая на практике все экономико-производственные процессы в единое целое.

Определение. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, расположенных в i строках и j столбцах и записанная в виде:

.

Каждое из чисел aij называется элементом матрицы, где первый индекс обозначает номер строки, а второй – номер столбца, в которых находится данный элемент. Число строк i и столбцов j матрицы определяют её размеры,
т. е. размер матрицы (i х j)

Матрица, в которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной.

Например, матрицы:

;

называются матрицами соответственно 2-го и 3-го порядка.

Совокупность элементов квадратной матрицы, для которых i = j, называется главной диагональю матрицы.

Например, матрица есть матрица, в которой главную диагональ образуют элементы a = 1, a = 0, a = 4.

Матрица, все элементы которой нули, называется нулевой матрицей

.

Матрица, в которой все элементы равны нулю, за исключением элементов главной диагонали, называется диагональной матрицей

.

Если в диагональной матрице элементы главной диагонали единицы, то такая матрица называется единичной.


.


Матрица, состоящая из одного элемента, т. е. А = (а),

является просто числом.

Матрица, состоящая из одной строки, т. е. А = (а1 а2 а3аn), называется вектором-строкой.

Матрица, состоящая из одного столбца, т. е. , называется вектором-столбцом.

Отдельные числа столбцов или строк называются компонентами вектора.

Каждая последовательность величин может быть записана при помощи векторного способа записи. Например, потребность цеха в кислоте, щёлочи, соли в данный плановый период может быть выражена вектором-столбцом: , где а1 – потребность в кислоте, а2 – потребность в щёлочи, а3 – потребность в соли.

Во второй плановый период потребность в этих же продуктах может быть другая, т. е. её можно выразить другим вектором-столбцом:

Если потребуется найти суммарную потребность за два плановых периода, то очевидно, что их надо сложить:

.

Аналогично, если потребовалось бы определить разницу, т. е. на- сколько больше потребность в кислоте, щёлочи и соли во второй плановый период, чем в первый, то решением было бы:

.

Если в нашем примере потребность цеха в этих продуктах увеличилась бы в несколько раз, например k раз, то в векторной форме она выразилась бы так:

.

Таким образом, если вектор умножается на какое-нибудь число, то все его компоненты умножаются на это число.

Пусть имеются два вектора А = (а1 а2 а3), компонентами которого являются цены потребляемого сырья (кислоты, щёлочи, соли) и В = , компоненты которого выражают количество сырья. Для того чтобы определить суммарные денежные затраты, нужно перемножить эти вектора.

А · В = (а аа) · = а·b + а·b + аb.

Действия над матрицами производятся аналогично, как и действия над векторами, последнее является частным случаем.

Сумма (разность) двух матриц получается сложением (вычитанием) одноимённых элементов этих матриц.

Например, даны

и ,

тогда

А ± B = = …

… =.

Возьмём числовой пример:

и ,

тогда

А + B = .

Заметим, что сложение и вычитание матриц лишь тогда возможно, когда число строк и число столбцов в этих матрицах совпадают.

Если матрица А умножается на число, то на это число умножается каждый элемент матрицы:

.

И обратно, если все элементы матрицы имеют общий множитель k, то его можно вынести за матрицу.

Произведением двух матриц:

и

является ,

где сij = ai1 · b1j + ai2 · b2j+ … + aip · bpj.

То есть элементы i -й строки матрицы А умножаются на соответствующие элементы j столбца матрицы В и произведение складывается.

Пример.

; ;

A · B =· =



.

Следует отметить, что произведение матриц не коммутативно:

АВВА.

Найдем произведение В · А:

В · А ==

, т. е. А · ВВ · А.

§2. Определители

Пусть дана система двух уравнений с двумя неизвестными

(1)

Коэффициенты этой системы составляют квадратную матрицу второго порядка:

(2)

Найдем решения системы. Для этого исключим из первого уравнения системы (1) неизвестное х, а из второго уравнения –х. Получим:

(а аа а) х = b аb а,

(а аа а) х = b аb а.

Допустим, что (а аа а) х ≠ 0, тогда

, (3)

Общий знаменатель значений неизвестных одинаковый и легко элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали. Это число называется определителем. Следует отметить, что если матрица есть таблица чисел, то определитель есть число, связанное определенным образом с матрицей.

Произведения аа и аа называются членами определителя второго порядка. В отличие от матрицы, которую заключают в круглые скобки, определитель заключается в прямые черточки и выражается через элементы матрицы (2). Он равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

Определитель обозначается значком Δ (дельта):

(4)

Числители выражений (3) имеют такой же вид, как и знаменатель, но числитель получается заменой первого столбца матрицы (2) столбцом свободных членов для х1 и заменой второго столбца столбцом свободных членов для х2.

Формулы (3) теперь можно записать в виде

и (5)

Такое решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными называется правилом Крамера. Ясно, что она имеет решения, если определитель из коэффициентов системы уравнений (1) отличен от нуля.

Пусть теперь дана система трех уравнений с тремя неизвестными:

(6)

Умножим обе части первого уравнения системы (6) на аааа, обе части второго уравнения на аааа, обе части третьего на аааа и сложим все уравнения. В результате умножения коэффициенты при неизвестных х и х обратятся в нуль, т.е. эти неизвестные исключаются. Получим: (ааа+ ааа + аааааа аaaааа)х= (bааbа+aabаbаbа bаа) (7)

В этом равенстве коэффициент при х, представляет собой определитель третьего порядка, соответствующий матрице при переменных системы (6) и вычисляется следующим образом:

= ааа + ааа + ааа

ааа аааааа (8)

В состав определителя со знаком «плюс» входят произведение элементов главной диагонали и произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, с добавлением элемента из противоположного угла. Члены, входящие в состав определителя со знаком «минус», определяются аналогично, но относительно второй диагонали. Схематически правило вычисления членов определителя с соответствующими знаками можно изобразить следующим образом.

+ –


Свободный член равенства (7) тоже представляет собой определитель третьего порядка (Δ), только здесь первый столбец заменён столбцом свободных членов, и т. д. Для вычисления определителей Δ2 и Δ3 соответственно заменяется 2-й и 3-й столбец столбцами свободных членов. Решение системы уравнений (6) запишется в виде:

; ; .

Однако следует указать, что для определения знака членов определителя более высоких порядков вышеуказанное правило неприменимо.

Используя структуру изучения определителей 2 и 3-го порядка, введем понятие определителя любого порядка. Мы видим, что каждый элемент определителя обозначается буквой аij с двумя индексами, причем первый индекс указывает на номер строки, а второй – столбца. В соответствии с определением матрицы, приведенным в предыдущем параграфе, определитель для матриц n-го порядка запишется в виде:

.

Перечисленные ниже свойства справедливы для определителей любого порядка, но для наибольшей наглядности доказательства проведем для определителей 2 и 3-го порядка.

Свойство 1. Значение определителя не изменится, если строки сделать столбцами, а столбцы строками:

.

Свойство 2. При перестановке двух строк или столбцов определитель меняет знак на противоположный.

.

Свойство 3. Определитель с двумя одинаковыми строками или с двумя одинаковыми столбцами равен нулю.


.


Свойство 4. Если все элементы некоторой строки или столбца умножить на какое-нибудь число, то сам определитель умножится на это число.

.

Свойство 5. Если все элементы строки или столбцы равны нулю, то и определитель равен нулю.

.

Свойство 6. Определитель с двумя пропорциональными строками или столбцами равен нулю.

.

Свойство 7. Если элементы некоторой строки или столбца определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в которых элементы упомянутой строки или столбца заменены отдельными слагаемыми.

.

Вычислив левую и правую части определителей, мы убеждаемся в их равенстве.

;

.

Свойство 8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк или столбцов прибавляются соответственные элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и то же число.

.

По свойству 7 данный определитель равен сумме двух определителей, второй из которых по свойству 6 равен нулю.





страница8/19
Дата конвертации24.10.2013
Размер3.36 Mb.
ТипУчебное пособие
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   19
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rud.exdat.com


База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2012
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Документы