Тема: «Декартова система координат» icon

Тема: «Декартова система координат»



Смотрите также:

Тема: «Декартова система координат»


Одна из ярких страниц VΙΙ века связана с работами французского математика, физика и философа Рене Декарта. Он предложил геометрическое истолкование алгебраических задач, ввел координатную прямую с положительными и отрицательными числами (1637 год), систему таких прямых, которые в последствии получила широкое применение в математике, физике, химии, географии, астрономии и других дисциплинах под названием «декартова» система координат

Система координат на плоскости позволяет решать задачи, связанные с положением точек на плоскости, построение графиков, геометрических фигур, нахождением расстояния между точками и т.д.


XVII в. – век создания математики, переменных величин, высшей математики. Развитие торговли и мореплавания, вызванное новыми географическими открытиями, и связанное с ним дальнейшее развитие астрономии, рост промышленности и техники способствовали зарождению новых математических идей и методов, отвечающих запросам естествознания людей.

Одним из создателей высшей математики был Рене Декарт (1596-1650), гениальный французский ученый и мыслитель XVII века. Декарт далеко не сразу нашел свое место в жизни. Дворянин по происхождению, окончив колледж в Ла – Флеше, он с головой окунается в светскую жизнь Парижа, затем бросает все ради занятий наукой. Декарт стремился и в философии и в любой другой науке найти математические законы, свести каждый вопрос или каждую задачу к математической. Он хотел создать такой универсальный математический метод, который позволил бы всякому овладевшему им решить задачу. В 1637 году в Лейдене выходит четыре тома его «Философских опытов». Последний том назывался «Геометрия».

Декарт отводил математике особое место в своей системе, он считал ее принципы установления истины образцом для других наук. Свой философский метод он, прежде всего, опробовал на математике: «Время от времени я уделял несколько часов специально, но то, чтобы упражняться в приложении метода к трудным проблемам математики».

Главное достижение Декарта – построение аналитической геометрии, в которой геометрические задачи переводились на язык алгебры при помощи метода координат. Нужно отметить, что у Декарта в точном виде еще не было того, что сегодня называется декартовой системой координат. Декарт начал с того, что перевел на алгебраический язык задачи на построение циркулем и линейкой.

1) Нашли применение не только прямоугольная система координат, но и косоугольная, пространственная система координат.

2) Она нашла широкое применение не только в математических науках, но и в физике, химии, географии, биологии, космонавтике и др.
Впоследствии сформировался «образ» системы координат, которую назвали «декартовой».

Трудно переоценить значение декартовой системы координат в развитии математики и ее приложений. Огромное количество задач, требовавших для решения геометрической интуиции, специфических методов, получило решения, состоящее в аккуратном проведении алгебраических выкладок.

Алгебраическое уравнение Рене Декарт рассматривал как зависимость между X и Y , определяемую положение точек на плоскости. Так, например, корень уравнения:
x = - b/a

Можно геометрически изобразить точкой М пересечения прямой

y = ax + b c осью Ох т.е. с прямой y = o (рис. 1). Вводя второе неизвестное (y), Декарт разбивал уравнение на два, каждое, из которых представляло некоторое геометрическое место точек. Так уравнение ах +b = 0, где, а = 0, можно представить и в виде ах = - b, тогда его корень х = - b/a можно найти, как абсциссу точки М′ пересечения следующих двух прямых: y = ax, y = -b.




у у = ах + b







у = ах


м х

о


у = -b


м′


Чтобы определить координаты точки на плоскости, проведем в этой плоскости две взаимно перпендикулярные числовые оси – это и будет система координат. Точку их пересечения берут за начало отсчета осей Ох и Оу и называют началом координат О.

Направление осей выбирают так чтобы положительная полуось Ох при повороте на + 90۫ совмещалась с положительной полуосью Оу. Единичные отрезки на осях чаще выбирают одинаковыми и наносят шкалы. Ох – ось абсцисс, Оу – ось ординат.

Для определения координат некоторой точки М опускают из нее перпендикуляры на оси. Основания перпендикуляров на осях являются проекциями точки М или ее координатами.


Y

М у

X

x o

Каждой точке на плоскости ставится соответствие упорядоченная пара чисел х, у, которая называется прямоугольными декартовыми координатами точки М. Справедливо обратное: каждой паре чисел х,у можно поставить в соответствие точку плоскости.

Оси координат делят плоскость на четыре части – координатные углы.


у


ІІ І

х

о

ІІІ ІV


Задачи, решаемые в системе координат.

В системе координат решаются две задачи:

  1. Построение точек на плоскости по заданным координатам.

Заданы координаты точек:

М (-1, 3) В (1, 0)

К (3, 4) С (0, -3)

Р (-2, 1)

Нужно построить эти точки на плоскости.

у

К.

М.


Р.

В х

о


С


2. Нахождение координат точек, расположенных на плоскости.

На плоскости заданы точки Е, Т, С, Р, Н.


у


Е.

Т.


Н х

о

Р.

С.


Координаты, применяемые в математике, позволяют определить с помощью чисел положение любой точки пространства, или плоскости, или линии. Это дает возможность «шифровать» различного рода фигуры, записывать их при помощи чисел.

Вот примеры такого рода шифровки:

1. Рисунок задан координатами:

«Кораблик»


у




7




5







3




-7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 х




о -1



-3


-5


-7


(-2, 0) Парус 1-ое окно 2-ое окно 3-е окно

(-3, 1) (1, 0) (-4, -1) (-2, 0) (2, 0)

(-7, 1) (1, 6) (-3, -1) (-2, -1) (2, -1)

(-4, -2) (-2, 3) (3, 0) (-1, -1) (1, -1)

(6, -2) (1, 1) (4, 0) (-1, 0) (1, 0)

(7, 1)

(3, 1)

(2, 0)

(0, 0)


2. Рисунок задан отрезками функций, изучаемых в 7 – 9 классах: линейной, квадратичной, кубической, обратной пропорциональности:

«Домик»

у = 3 у = 1

х = 7 х = 4

у = -8 у = -4

х = -7 х = -4

у = х + 10 у

у = -х + 10

у = х + 10



у = -х + 10




у = 3







у = 1

х

х = -4 о х = 4




х = -7 х = -7

у = -4


у = -8


3. Решение уравнений и координатная плоскость.


1) 6 – 2у = 8 – 3у А (6, у)

2) 15х + 3 = 10х – 12 В (х, 2)

3) –5х – 11 = - 6х – 12 С (х, -1)

4) 3а + 5 = 8а – 15 Е (а, -1)

) 5х = 30 А (х, 2)


у


В А


0 1

х

С Р


Обратим внимание на сообщение в газете, о запуске нового спутника: «Спутник вышел на орбиту, близкую к расчетной». Подумаем: как можно рассчитывать, т.е. изучать в числах, орбиту спутника – некоторую линию. Ведь для этого надо уметь переводить на язык чисел геометрические понятия и в первую очередь уметь определять положение точки в пространстве с помощью чисел.

Метод координат – это способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Числа, с помощью которых определяется положение точки, называются координатами точки.

Хорошо известные Вам географические координаты определяют положение точки на поверхности (Земли) – каждая точка на земной поверхности имеет две координаты: широту и долготу.

Чтобы определить положение точки в пространстве, нужны уже не два, а три числа. Например, чтобы определить положение спутника, можно указать высоту его над поверхностью Земли, а также широту и долготу точки, над которой он находится. Если же известна траектория спутника, то чтобы определить положение его на этой линии, достаточно указать одно число: например, расстояние, пройденное спутником от некоторой точки. Точно также применяют метод координат для определения положения точки на линии железной дороги: указывают номер километрового столба. Этот номер – является координатой точки на железнодорожной линии.

Своеобразные координаты используют в шахматах, где положение фигуры на доске определяется с помощью буквы и числа. Вертикальные ряды обозначаются буквами латинского алфавита, горизонтальные – цифрами. Каждой клетке доски соответствует буква, указывающая вертикальный ряд. Так например, белая пешка стоит на клетке а2, черная – на с4. таким образом, а2 можно считать координатами белой пешки, с4 – координатами черной. Применение координат в шахматах позволяет играть в шахматы по переписке. Чтобы сообщить ход, нет надобности, рисовать доску и расположение фигур. Достаточно, например, сказать: «Гроссмейстер сыграл е2 – е4, и всем уже известно, как начата партия.

Метод координат важен также тем, что он позволяет применять современные вычислительные машины к решению геометрических задач, к исследованию любых геометрических объектов и соотношений.









Дата конвертации25.10.2013
Размер74,6 Kb.
ТипДокументы
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rud.exdat.com


База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2012
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Документы