Лекция Летательный аппарат как объект управления Всвязи с малой длительностью полета в качестве инерциальной можно принять систему координат, связанную с Землей icon

Лекция Летательный аппарат как объект управления Всвязи с малой длительностью полета в качестве инерциальной можно принять систему координат, связанную с Землей



Смотрите также:

Лекция 3. Летательный аппарат как объект управления



В связи с малой длительностью полета в качестве инерциальной можно принять систему координат, связанную с Землей – земную систему координат OXgYgZg. Начало системы можно поместить либо в центре масс ЛА, либо в точке старта. Ось OYg направлена вверх и совпадает с местной вертикалью. Оси OXg и OZg образуют вместе с осью OYg правую связку, причем ось OXg направлена вдоль местного меридиана на север (рис.1)

Управляемый ЛА в дальнейшем рассматривается как твердое тело с шестью степенями свободы – тремя прямоугольным координатами центра масс и тремя угловыми координатами, которые характеризуют ориентацию ЛА по

Рис.1 Земная система координат. отношению к земной системе.

Эти угловые координаты принято определять положением некоторой связанной системы OX1Y1Z1 по отношению к земной. Связанная система строится следующим образом: ocь OX1 совпадает со строительной осью ЛА и направлена от хвоста к носку, остальные две оси лежат в плоскостях симметрии ЛА, т.к. обычно управляемый ЛА представляет собой осесимметричное тело. Все три оси образуют правую связку. Переход от земной системы к связанной осуществляется тремя последовательными поворотами (рис.2) : первый поворот вокруг оси OYg на угол рыскания ψ , второй поворот относительно нового положения оси OZg - на угол тангажа и, наконец, третий поворот относительно оси OX1 на угол крена γ . Взаимная ориентация систем задается матрицей, которая получается перемножением трех матриц, соответствующих трем упомянутым поворотам. Символьный пакет MAPLE позволяет избежать утомительных выкладок:

> with(linalg):

> M1:=linalg[matrix](3,3,[cos(psi),0,-sin(psi),0,1,0,sin(psi),0,cos(psi)]):


> M2:=linalg[matrix](3,3,[cos(theta),sin(theta),0,-sin(theta),cos(theta),0,0,0,1]):

> M3:=linalg[matrix](3,3,[1,0,0,0,cos(gamma),sin(gamma),0,-sin(gamma),cos(gamma)]):

> multiply(M3,M2,M1);








Ввиду ортогональности матриц М1,М2 и М3 для обратного перехода от связанной системы к земной достаточно транспонировать этот результат.

Для изучения и математического моделирования движения центра масс более удобной оказывается скоростная система координат OXYZ, которая строится следующим образом: ось OX направлена вдоль вектора скорости , ось OY перпендикулярна

Рис.2.Переход от земной системы к связанной. оси ^ OX и лежит в местной вертикальной плоскости, ось OZ образует с двумя предыдущими правую ортогональную связку (рис.3).

Для перехода от земной системы OXgYgZg к скоростной следует выполнить два поворота: первый относительно OYg на курсовой угол φ , и второй - относительно образовавшейся оси OZ на угол наклона траектории к горизонту θ (обратите внимание на разницу написания этой буквы для скоростной и связанной систем). Соответствующие матричные соотношения снова легко реализуются с помощью пакета MAPLE:

> with(linalg):

> M1:=linalg[matrix](3,3,[cos(phi),0,- sin(phi),0,1,0,sin(phi),0,cos(phi)]):

> M2:=linalg[matrix](3,3,[cos(theta),sin(theta),0,-sin(theta),cos(theta),0,0,0,1]):

> multiply(M2,M1);




Заметим, что по мере надобности в зависимости от решаемой задачи можно построить целый ряд систем координат. В частности, при продувках в аэродинамической трубе обычно используется полусвязанная система, что обусловлено особенностями техники измерения сил и моментов, которые обтекающий поток оказывает на закрепленный в трубе ЛА (или его уменьшенную модель).

Рис.3. Переход от земной системы к поточной. Ограничиваясь введенными здесь тремя системами, перейдем к дифференциальным уравнениям, описывающим движение ЛА в атмосфере.

Обозначив через m массу ЛА, а через полный вектор действующих на него сил, запишем уравнение второго закона Ньютона в векторной форме для постоянной массы

.(1)

Уравнение (1) описывает фактически движение твердого тела, которое в каждый момент времени обладает угловой скоростью ω. Производная вектора скорости в левой части (1) называется абсолютной производной. Поэтому уравнение (1) следует записать в более подробной форме

, (2)

где «тильдой» помечена локальная производная вектора скорости в подвижной системе координат или относительная производная. Векторное произведение в (2) представляет производную вектора скорости в переносном движении.

Переходя к скалярной записи, получаем

(3)

Уравнения (3) справедливы для любого твердого тела и специфика изучаемого здесь ЛА состоит в физической природе вектора внешних сил, который равен

. (4)

В векторной сумме (4) введены следующие обозначения:

^ P – тяга двигателя,

Fa – равнодействующая аэродинамических сил со стороны воздушной среды,

G – сила тяжести,

Fguid – равнодействующая управляющих сил,

Fdist – равнодействующая сил возмущения.

Дадим краткую характеристику перечисленных сил.

1.Тяга двигателя складывается из двух составляющих

. (5)

Здесь

q - секундных расход топлива,

Vjet - скорость истечения газов,

Snoz - площадь среза сопла,

pnoz - давление на срезе сопла,

patm - атмосферное давление на данной высоте.

Очевидно, тяга должна возрастать с увеличением высоты полета. Для баллистических ракет эта добавка составляет заметную величину в десятки кН. При малом перепаде высот, характерном для малых тактических ракет, тягу можно считать постоянной. К этому можно добавить, что во многих случаях тяга для малых ракет ограничивается временем действия стартового двигателя и в течение остального полета она равна нулю.


2.Вектор аэродинамических сил имеет следующие компоненты:

^ X – лобовое сопротивление,

Y – подъемная сила,

Z – боковая сила.

При теоретических исследованиях и при моделировании каждую из этих компонент принято записывать в специальной форме. Например, для лобового сопротивления

. (6)

Аналогичные выражения существуют для двух остальных компонент. Меняется лишь индекс при аэродинамическом коэффициенте C.

В формуле (6) S - характеристика, имеющая размерность площади. Обычно она соответствует площади миделевого сечения («миделя») - поперечного сечения ЛА, имеющего наибольшую площадь. Буква ρ обозначает плотность окружающей атмосферы и V - скорость набегающего потока. Комбинация называется скоростным напором.

Особую роль в выражениях вида (6) играют безразмерные коэффициенты С с соответствующими индексами. Они зависят от скорости движения ЛА и характеризуют в первую очередь его форму. Изменение углов между вектором скорости и строительной осью ЛА, а также изменение наклона рулей и элеронов эквивалентно изменению формы. Поэтому аэродинамические коэффициенты зависят от перечисленных факторов, причем скорость полета принято измерять в числах Маха M=V/a , где a - скорость распространения звуковых колебаний в окружающей атмосфере. Что касается углов между вектором скорости и осью ЛА, то они также имеют названия (рис.4). Последовательными поворотами осуществляется переход от скоростной системы координат к связанной. Первый поворот на угол скольжения β , второй поворот – на угол атаки α . Матрица перехода та же, что и для преобразования земной системы OXgYgZg в скоростную OXYZ. Следует лишь заменить φ на β , а θ - на α.


Рис.4. Переход от скоростной системы координат к связанной.

Традиционным способом определения коэффициентов Cx , Cy

и Cz является длительная и дорогостоящая продувка в аэродинамических трубах.

Современные трубы допускают высокие сверхзвуковые скорости продувки, которые достигаются путем пропускания нагретого воздуха под большим давлением через критическое сечение в течение короткого промежутка времени. Повышенная температура порядка 540о С требуется для предотвращения сжижения воздуха из-за адиабатического охлаждения. Специально подготовленный сухой воздух необходим в большом объеме, который хранится в резервуарном парке. Естественно, что критическое сечение трубы не может быть большим, Поэтому продувка осуществляется на сильно уменьшенных моделях продуваемого изделия с неизбежными погрешностями, несмотря на то, что допуски на размеры моделей составляют 0.025 мм. Материал моделей – высококачественная сталь, обладающая повышенной прочностью. Определенные технические трудности создаются при креплении модели в трубе, т.к. детали крепления создают нежелательные возмущения в потоке воздуха. В этом смысле натурные испытания ЛА выгодно отличаются от продувок. С появлением телеметрии и возможности обработки большого цифрового массива путем идентификации математической модели с данными эксперимента можно добиться высокой достоверности. Более того, некоторые характеристики (например, эффект Магнуса) остаются пока не воспроизводимыми в аэродинамических трубах. На рис. 5 приводится семейство графиков зависимости Cx от числа Маха для различных углов атаки, полученные для ракеты V-2 времен второй мировой войны.



Рис.5.Зависимость коэффициента лобового сопротивления от числа Маха и угла атаки.


Уделив столь существенное внимание аэродинамическим силам, продолжим характеристику остальных сил.

3. Сила тяжести.

Термин «сила тяжести» не следует путать с термином «сила тяготения», несмотря на их близкую физическую природу. Сила тяжести действительно вызывается всемирным тяготением, но при этом заметную долю вносит центробежная сила из-за суточного вращения Земли. Таким образом, сила тяжести зависит от широты места φ. Более строгие гравиметрические измерения показывают зависимость силы тяжести от географических координат из-за неправильности фигуры Земли . Приведем здесь одну из употребительных формул для ускорения силы тяжести

.

Из формулы следует, что на полюсе ЛА массой 100 кг будет весит на 0.5 кг больше, чем на экваторе. Приблизительно такое же изменение силы тяжести произойдет при подъеме на высоту 10 км. В самом деле, принимая средний радиус Земли равным 6371 км, найдем квадрат отношения: . Это означает, что на высоте 10 км ЛА массой 100 кг потеряет в весе около 300 г. Совершенно другие цифры мы получим для баллистической ракеты при подъеме хотя бы на 100 км. Аналогичный расчет показывает, что ЛА массой 10 т на этой высоте потеряет около 300 кг. Мы вернемся к вопросу необходимых поправок на высоту при анализе свойств атмосферы Земли.

4. Силы управления.

Управление ЛА, полет которых проходит в плотных слоях атмосферы, осуществляется с помощью аэродинамических органов – рулей и элеронов. Менее традиционным является импульсное управление, анализ которого будет проведен позже.

Поверхность органов управления невелика по сравнению с поверхностью крыльев, создающих подъемную силу. Поэтому сила, действующая на рули и элероны также невелика и при расчетах и моделировании ее обычно не учитывают. Однако эта сила приводит к образованию углов атаки и скольжения, что и служит причиной появления подъемной и боковой сил, изменяющих траекторию полета ЛА.

5. Силы возмущений.

К этой категории сил относятся всевозможные случайные факторы. Например, эксцентриситет тяги двигателя, при котором равнодействующая реактивной силы не совпадает с осью симметрии ЛА. Сюда же можно отнести ветровые возмущения, а также силы, возникающие при полете в турбулентной атмосфере. Хорошо известно возмущение из-за «скоса потока», возникающее у ЛА с аэродинамической схемой типа «утка». Это явление связано с тем, что при отклонении рулей, расположенных в носовой части ЛА , условия обтекания крыльев становятся асимметричными, что вызывает дополнительное возмущение по крену.

Перейдем к уравнениям углового движения ЛА относительно центра масс. Для этой цели наиболее удобной оказывается связанная система координат, ориентированная по главным осям инерции. Обозначив моменты инерции ЛА относительно этих осей Jx , Jy и Jz , запишем уравнения Эйлера для твердого тела

(7)

Эти уравнения теоретической механики также справедливы для любого симметричного тела и специфика исследования ЛА состоит во внешних моментах в правой части уравнений (7). Суммарный вектор внешних моментов также можно представить в виде суммs^

. (8)

Смысл индексов в формуле (8) тот же, что и в формуле (4) для сил. Новым здесь является момент демпфирования Md, возникновение которого связано с вязкостью атмосферы. Этот момент в первом приближении пропорционален угловой скорости вращения ЛА относительно окружающей среды.

Статический момент Ma возникает из-за того, что центр масс ЛА не лежит на линии действия аэродинамической силы, проходящей через «центр сопротивления». Если этот центр лежит позади центра масс, ЛА является аэродинамически устойчивым. В противном случае ЛА неустойчив, и для его стабилизации необходимо создать быстрое вращение относительно продольной оси.

Подобно формуле (6) моменты, возникающие при взаимодействии с атмосферой, принято записывать в виде:

(9)

Безразмерные коэффициенты m играют ту же роль, что и коэффициенты C в формулах типа (6). Они так же определяются в основном путем продувки.

В отличие от формул (6) в выражениях (9) появились l - полуразмах крыла и b - средняя аэродинамическая хорда (САХ). Смысл этих обозначений становится ясным из рис.6.


Рис.6. Средняя аэродинамическая хорда b и полуразмах l крыла ЛА.



Скачать 106,68 Kb.
Дата конвертации25.10.2013
Размер106,68 Kb.
ТипЛекция
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rud.exdat.com


База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2012
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Документы