Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих теорию функции комплексного переменного. © Острая О. В., 2008 icon

Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих теорию функции комплексного переменного. © Острая О. В., 2008



Смотрите также:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ


Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

''Оренбургский государственный университет''




О.В. ОСТРАЯ


ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО


Рекомендовано Ученым советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Оренбургский государственный университет" в качестве учебного пособия для студентов всех специальностей, обучающихся по программам высшего профессионального образования.


Оренбург 2008

УДК 517.73 (075.8)

ББК 22.161.5 я73

О 76


Рецензент

кандидат физико-математических наук, доцент И.К. Зубова


Острая О.В.

O76 Теория функций комплексного переменного: учебное пособие/ О.В. Острая, – Оренбург: ГОУ ОГУ, 2008 – 112 с


ISBN


В пособии излагается теория функций комплексного переменного. Вводятся основные понятия этой теории: дается определение функций комплексного переменного, определяются операции дифференцирования и интегрирования функции комплексного переменного, вводятся определения конформного отображения и вычетов. Предлагаются контрольные задания и решения «нулевого варианта».

Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих теорию функции комплексного переменного.









© Острая О.В., 2008

ISBN © ГОУ ОГУ, 2008

Содержание


Предисловие…………………………………………………………………...

5

Основные обозначения……………………………………………………….

6

Введение………………………………………………………………………

8

1 Комплексные числа. Алгебраические операции над комплексными




числами……………………………………………………………………..

10

1.1 Определение комплексного числа. Формы записи комплексных




чисел………………………………………………………………………...

10

1.2 Действия над комплексными числами…………………………….......

12

1.3 Возведение комплексного числа в целую степень и извлечение




корня из комплексных чисел…….....……..…..………..………………

15

1.4 Множества точек на комплексной плоскости. Задание




геометрических мест…………………...…………………………………..

17

1.5 Задачи для самостоятельного решения………………………………..

20

2 Функции комплексного переменного……………………………………...

22

2.1 Основные геометрические понятия. Определение функции




комплексного переменного. Геометрическая интерпретация




функции комплексного переменного…………………………………

22

2.2 Основные элементарные функции комплексного переменного……….

24

2.3 Предел и непрерывность…………………………………………….

28

2.4 Задачи для самостоятельного решения………………………………

30

3 Аналитические функции. Условия Коши-Римана…………………………

31

3.1 Дифференцирование функции комплексного переменного.




Аналитичность функции…………………………………………………..

31

3.2 Гармонические функции. Сопряженно-гармонические функции.




Восстановление аналитической функции………………………………..

33

3.3 Геометрический смысл модуля и аргумента производной…………

34

3.4 Конформные отображения…………………………………………….

34

3.5 Основная задача и общие теоремы теории конформных




отображений………………………………………………………………..

35

3.6 Задачи для самостоятельного решения………………………………

38

4 Интегрирование функции комплексного переменного……………..

39

4.1 Интеграл по кривой и его вычисление…………………………………

39

4.2 Теорема Коши. Интегральные формулы Коши……………………...

42

4.3 Задачи для самостоятельного решения………………………………

44

5 Ряды в комплексной области…………………………………………...

45

5.1 Числовые ряды…………………………………………………………

45

5.2 Степенные, сходящиеся к ним и двусторонние ряды…………………..

46

5.3 Ряды Тейлора и Лорана………………………………………………..

49

5.3.1 Ряд Тейлора………………………………………………………...

49

5.3.2 Ряд Лорана…...……………………………………………………..

51

5.4 Задачи для самостоятельного решения………………………………

55

6 Нули функции. Изолированные особые точки……………………..

56

6.1 Нули аналитической функции…………………………………………..

56

6.2 Изолированные особые точки…………………………………………...

56

6.3 Задачи для самостоятельного решения………………………………

58

7 Вычеты. Применение их к вычислению интегралов……………………...

59

7.1 Вычет функции и его вычисление…………………………………….

59

7.2 Основная теорема о вычетах и ее применение к вычислению




контурных интегралов……………………………………………………..

61

7.3 Приложение вычетов к вычислению некоторых действительных




интегралов…………………………………………………………………...

62

7.4 Задачи для самостоятельного решения………………………………

63

8 Варианты для самостоятельного решения………………………………...

65

9 Решение задач «нулевого варианта»……………………………………….

77

10 Из истории развития теории функций комплексного переменного……

88

10.1 Первое появление комплексных чисел……………………………..

88

10.2 Возникновение теории функций комплексного переменного……

91

10.3 Уточнение концепции комплексного числа………………………..

93

10.4 Развитие комплексного интегрирования…………………………...

96

11 Биографический словарь…………………………………………………..

99

Список рекомендуемой литературы…………………………………………

112

Предисловие


Данное пособие предназначено для обучения студентов вузов по разделу курса высшей математики «Теория функций комплексного переменного».

В пособии рассматриваются следующие вопросы: комплексные числа, их геометрическое изображение, действия над ними в алгебраической и тригонометрической форме, геометрическое истолкование этих действий; основные элементарные функции комплексной переменной, дифференцирование и интегрирование в комплексной области, функциональные ряды с комплексной переменной, особые точки, вычеты, применение вычетов к вычислению интегралов от функции комплексного и действительного переменного.

Пособие имеет следующую структуру. В начале каждого параграфа приводятся теоретические сведения: определения основных понятий, формулировка теорем, соответствующие формулы. Далее следуют примеры решения типовых задач. Затем предлагаются задачи для самостоятельного решения.

Пособие содержит краткий очерк истории возникновения и развития теории функций комплексной переменной, взятый из учебного пособия: Гусак А.А. «Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление». Оно включает биографический словарь, в котором приведены краткие сведения о жизни и деятельности ученых, названных в пособии, чьи научные исследования были посвящены теории функций комплексной переменной.

^ Основные обозначения




– элемент принадлежит множеству



– элемент не принадлежит множеству



– множество включено в множество



– множество состоит из элементов , ,



– множество состоит из , обладающих свойством, указанным после двоеточия

Ø

– пустое множество



– из высказывания следует



– высказывания и равносильны

N

– множество натуральных чисел

Z

– множество целых чисел

Q

– множество рациональных чисел

R

 множество действительных чисел

C

 множество комплексных чисел



 отрезок с концами в точках и



 интервал с концами в точках и

,

 полуинтервалы с концами в точках и



 бесконечно удаленная точка расширенной комплексной плоскости



 сумма слагаемых,



 произведение всех натуральных чисел от 1 до включительно



 точка плоскости с координатами (абсцисса) и (ордината)



 упорядоченная пара действительных чисел и



 мнимая единица



 действительная и мнимая части комплексного числа



 число, сопряженное числу



 модуль комплексного числа



 комплексная плоскость



 аргумент комплексного числа



 граница области



 замыкание области



 функция комплексного переменного

,

 действительная и мнимая части функции комплексного переменного



 предел функции при



 производная функции комплексного переменного



 частная производная функции по переменной



 определенный интеграл от функции действительного переменного



 интеграл от функции комплексного переменного по ориентированной кривой



 интеграл от функции комплексного переменного по замкнутому контуру



 вычет функции комплексного переменного в точке

Введение


Известно, что не на любом числовом множестве выполнима любая алгебраическая операция. Так, на множестве ^ Z (целые числа) не всегда выполнима операция деления (например, – Z). Но множество Z является частью множества Q – множества рациональных чисел, т.е. ZQ, и на множестве Q операция деления выполнима. Однако на нем не всегда выполнима операция извлечения корня, например, на множестве Q не имеет решения уравнение . Множество Q является подмножеством множества R – множества действительных чисел. Но на множестве R операция извлечения корня также не всегда выполнима, например, не имеют решений уравнения и . Множество комплексных чисел вводится как расширение множества R таким образом, чтобы на нем эта операция была выполнима, т.е. чтобы было определено число, квадрат которого равен , и, следовательно, существовало решение простого уравнения .

С другой стороны, множество комплексных чисел можно ввести из геометрических соображений. А именно, действительные числа интерпретируются точками числовой прямой: каждому числу ^ R соответствует точка на оси, а каждой точке – действительное число. Если рассмотреть эту задачу на плоскости хОу , то точке М, принадлежащей оси Ох, соответствует пара . В общем случае любой точке плоскости соответствует пара действительных чисел, а множество таких пар можно рассматривать как расширение множества пар . Если в таком множестве ввести алгебраические действия, так чтобы в частном случае, т.е. для , они совпадали с операциями в R, а в общем случае позволяли выполнить операцию извлечения корня (в том числе извлечения корня четной степени из отрицательного числа), то множество – искомое.

Итак, рассмотрим множество упорядоченных пар действительных чисел. Элемент множества обозначим . Пары, образующие множество, – упорядоченные, т.е., например, пара не совпадает с парой .

Два элемента назовем равными, если у них равны соответствующие компоненты, т.е. для и равенство выполняется тогда и только тогда, когда , .

Суммой элементов и назовем элемент такой, что , , а операцию сложения обозначим .

Произведением элементов и назовем элемент такой, что , , а операцию умножения обозначим .

Можно убедиться, что введенные таким образом операции сложения и умножения удовлетворяют свойствам этих операций, известным на множестве R. Например, , – переместительные законы сложения и умножения и др. Поэтому можно считать, что знаки, принятые в обозначениях суммы и произведения, – обычные знаки сложения и умножения.

Рассмотрим произведение на . Результатом умножения будет число , где , , т.е. или . Следовательно, элемент (0,1) построенного множества есть тот элемент, квадрат которого равен . Этот элемент обозначается буквой i, т.е. и .

Таким образом, решены обе поставленные задачи:

  • множество R является подмножеством построенного;

  • в построенном множестве есть элемент, квадрат которого равен .

Это множество называется множеством комплексных чисел, и обозначается С. Элементы z множества называются комплексными числами: C.

Для удобства выполнения операций вводится алгебраическая форма записи комплексного числа следующим образом. В результате умножения чисел и получаем , а сумма чисел и дает . Поэтому любое комплексное число можно записать в виде .

На множестве С вводятся понятия функции и ее предела таким образом, что соответствующие понятия действительного анализа рассматриваются как частный случай. Естественно, при этом сохраняются известные свойства функций действительного переменного: теоремы о пределах, правила дифференцирования, формулы интегрирования и т.д. Однако, благодаря расширению класса функций, частным случаем которых являются функции действительного переменного, появляются новые свойства. Например, доказывается, что из существования производной функции следует существование ее производных п-го порядка в области. Устанавливается, что все элементарные функции связаны между собой: тригонометрические функции выражаются через показательную функцию, а обратные тригонометрические – через логарифмическую. Значительно глубже, чем в анализе функций действительного переменного, развита геометрическая теория – конформные отображения. Благодаря сочетанию аналитических и геометрических методов теория функций комплексного переменного находит широкое применение в других разделах математики и прикладных задачах.





страница1/10
Дата конвертации16.12.2012
Размер1,31 Mb.
ТипУчебное пособие
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rud.exdat.com


База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2012
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Документы