Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих теорию функции комплексного переменного. © Острая О. В., 2008 icon

Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих теорию функции комплексного переменного. © Острая О. В., 2008



Смотрите также:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

1 Комплексные числа. Алгебраические операции над комплексными числами


^ 1.1 Определение комплексного числа. Формы записи комплексных чисел


Определение. Комплексным числом называется пара действительных чисел , записанных в определенном порядке: . Одним из его обозначений служит запись вида

, (1)



Рисунок 1

называемая алгебраической формой записи комплексного числа . B записи (1) называется действительной, - мнимой частями комплексного числа (употребляется также обозначения , ); называется "мнимой единицей".

Для геометрического изображения комплексного числа вводят на плоскости прямоугольную декартову систему координат ; ось называется действительной осью, – мнимой, плоскость – комплексной плоскостью . Комплексному числу можно поставить в соответствие точку плоскости , либо вектор – и точка и вектор служат геометрическим изображением комплексного числа , (см. рисунок 1). Модуль вектора называется модулем комплексного числа ; он определяется по формуле

. (2)

Угол между действительной осью и вектором называется аргументом комплексного числа : . Значение , заключенное в промежутке , называется главным значением аргумента и обозначается: .

(3)

Следовательно,

. ()

Главное значение аргумента комплексного числа можно определить по формуле:

(4)

Определение. Запись вида

(5)

называется – тригонометрической формой записи комплексного числа .

Замечание. Комплексное число записывается также в показательной форме

. ()

Для сравнения комплексных чисел и вводится лишь операция равенства: комплексные числа и равны если равны соответственно их действительные и мнимые части: , . Равенство чисел, записанных в тригонометрической форме, формулируется следующим образом: , если модули их равны: , а аргументы связаны соотношением

(6)



Рисунок 2

(следует обратить внимание на то, что здесь сравниваются не элементы множества, а сами бесконечные множества).

Определение. Два комплексных числа и называются комплексно-сопряженными числами. Для этого употребляют обозначение и (см. рисунок 2).


^ 1.2 Действия над комплексными числами


Действия сложения и вычитания над комплексными числами определяются геометрически, т.е. как соответствующие действия над векторами (см. рисунок 3) и, следовательно, выполняются по формулам:

, (7)

(8)

– чтобы, например, сложить два комплексных числа, нужно сложить отдельно действительные и мнимые части. Получившиеся суммы будут соответственно действительной и мнимой частями суммы чисел.



Рисунок 3

Из формул (7) и (8) находим

(9)

Под произведением комплексных чисел и (обозначается ) понимается комплексное число , равное

. (10)

Деление комплексных чисел и определяется через действие умножения и может быть проведено по формуле

. (11)

Так как по формуле (10) , то деление удобно выполнять по следующей формуле:

()

Введенные таким образом операции сложения и умножения комплексных чисел подчиняются известным пяти законам арифметики:

1) – коммунитативность сложения;

2) – ассоциативность сложения;

3) – коммунитативность умножения;

4) – ассоциативность умножения;

5) – дистрибутивность умножения относительно сложения.

Формула (10) "раскрывает смысл" "мнимой единицы" . Таким образом, умножение комплексных чисел производится по обычным правилам алгебры с заменой на .

Приведем решение "типовых примеров" на введенные выше понятия.

Пример 1. Показать, что .

По определению суммы и ее свойств имеем:



Пример 2. Найти действительные решения уравнения .

Запишем левую часть уравнения в алгебраической форме: . По определению равенства комплексных чисел получим систему уравнений , , решением которой является пара чисел , .

Пример 3. Решить систему уравнений:



Так как , то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера. Имеем



и, следовательно,



Пример 4. Для числа :

а) построить геометрическое изображение;

б) найти модуль и главное значение аргумента;

в) записать число в тригонометрической форме;

г) записать число в показательной форме.

Число представлено, очевидно, в алгебраической форме (не имеет вида (5)):



Рисунок 4

На рисунке 4 число представлено геометрически. Найдем модуль комплексного числа . По формуле (2) имеем

Так как точка расположена в третьем квадранте , главное значение аргумента числа следует вычислить по третьей строчке формулы (4):



Таким образом, . Запишем в тригонометрической форме: и показательной форме: .


1.3 Возведение комплексного числа в целую степень и извлечение корня из комплексных чисел


Произведение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, находится по формуле

(12)

– при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Деление выполняется по формуле

. (13)

Возведение комплексного числа в натуральную степень производится по формуле

. (14)

Следствием формулы (14) является формула Муавра (1667-1754)

. (15)

Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа производится по формуле:

(16)

где – корень - ой степени из комплексного числа имеет (только) различных значений. Точки, соответствующие значениям , являются вершинами правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат. Для геометрического определения корней (16) следует найти по данной формуле одно значение корня, поставить соответствующую точку на окружности, разбить затем окружность на равных частей – таким образом могут быть построены остальные вершины -угольника.

Приведем несколько примеров.

Пример 1. Вычислить ; решение записать в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.

Представим число в тригонометрической форме:

.

По формуле(4) находим:

.

Так как здесь , то последняя запись представляет исходное число в тригонометрической форме. В алгебраической форме записи число имеет вид: и в показательной: .

Пример 2. Вычислить .

Представим число в тригонометрической форме: .

По формуле (16) находим:



Полагая последовательно равным 0, 1, 2 и 3, находим корни:

; ;

; .



Рисунок 5

Для построения этих чисел на комплексной плоскости проведем окружность радиуса . На окружности отметим точку . Разбивая далее окружность на четыре равные части, изобразим остальные точки (рисунок 5; заметим, что радиан соответствует угол равный 37°30').

Пример 3. Решить уравнение .

Имеем .

Значение определим алгебраическим путем. Положим: ( и – действительные числа). Возводя в квадрат и используя определение равенства комплексных чисел, находим систему уравнений: , , . Исключая , приходим к уравнению , или . Определим корни уравнения:

.

Знак минус перед корнем следует отбросить, так как действительное число. Далее находим: и .

Запишем найденные решения: и и, окончательно,

; .

Замечание. Решение квадратных уравнений (иногда) можно найти с помощью теоремы Виета. Пусть требуется решить уравнение . Если взять и , то получим, что , . На основании теоремы Виета устанавливаем, что 1 и – корни исходного уравнения.


^ 1.4 Множества точек на комплексной плоскости. Задание геометрических мест


Приведем некоторые примеры использования геометрического смысла модуля комплексного числа, его аргумента, введенных алгебраических операций.

Пример 1. Какое множество точек на плоскости определяется условием ?

Имеем и, значит, . По условию или . Последнее неравенство определяет множество точек в первом и третьем квадрантах, соответственно над и под гиперболой (рисунок 6).



Рисунок 6

Пример 2. Какое множество точек на плоскости определяется условием ?

Комплексное число изображается вектором, началом которого является точка и концом – точка . Угол между этим вектором и осью есть и он меняется в пределах от до . Следовательно, данное неравенство определяет угол между прямыми, выходящими из точки и образующими с осью углы в и (рисунок 7).




Рисунок 7

Пример 3. Какая кривая задается уравнением , где и – действительные положительные числа, причем .

Модуль есть расстояние между точками и , модуль – расстояние между точками и . По условию сумма расстояний от точки до двух данных точек и есть величина постоянная. Значит, точка лежит на эллипсе. Уравнение этого эллипса имеет вид , где (рисунок 8).



Рисунок 8

Пример 4. Какая кривая определяется уравнением ?

Имеем . По условию или – это окружность (см. рисунок 9).



Рисунок 9

Пример 5. Написать в комплексной форме уравнение прямой .

Подставляя и по формуле (9) в уравнение прямой, получаем , или . Обозначив , получим уравнение: – уравнение прямой в комплексной форме.


^ 1.5 Задачи для самостоятельного решения


1. Доказать следующие соотношения:

а) ; б) .

2. Найти:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Найти действительные решения уравнений:

а) ; б) .

4. Решить системы уравнений:

а) б)

в) г)

5. Найти модуль и главное значение аргумента комплексного числа. Записать число в тригонометрической и показательной формах:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

6. Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) .

7. Найти все значения корней:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

е) ; ж) ; з) ; и) ; к) .

8. Решить квадратные уравнения:

а) ; б) ;

в) .

9. Найти множества точек на плоскости , определяемые заданными условиями:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) .

10. Какие линии определяются следующими уравнениями

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

11. Написать в комплексной форме уравнение следующих линий:

а) координатных осей и ; б) прямой ; в) гиперболы ; г) окружности .

^ 2 Функции комплексного переменного





страница2/10
Дата конвертации16.12.2012
Размер1,31 Mb.
ТипУчебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rud.exdat.com


База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2012
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Документы