Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих теорию функции комплексного переменного. © Острая О. В., 2008 icon

Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих теорию функции комплексного переменного. © Острая О. В., 2008



Смотрите также:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

^ 2.4 Задачи для самостоятельного решения


1. Изобразить множества и выяснить, какие из них являются областями, какие из них ограниченные области:

а) ; б) ; в) .

2. Для указанных функций найти действительную и мнимую части:

а) , б) ; в) ; г) ; д) .

3. Найти образы данных точек при указанных отображениях:

а) ; б) ; в) ;

г) .

4. Выделить действительную и мнимую части у следующих функций:

а) ; б) ; в) ; г) .

5. Вычислить:

а) ; б) ; в) .

6. Записать в алгебраической форме:

а) ; б) ; в) ; г) .

6. Вычислить:

а) ; б) ; в) .

7. Найти:

а) ; б) .

8. Решить уравнения:

а) ; б) ; в) .

9. Вычислить пределы:

а) ; б) ; в) .

10. Доказать непрерывность на всей комплексной плоскости следующих функций:

а) ; б) ; в) ; г) .


3 Аналитические функции. Условия Коши-Римана


^ 3.1 Дифференцирование функции комплексного переменного. Аналитичность функции


Определение 1. Функция называется дифференцируемой в точке , если существует предел

. (44)

Этот предел называется производной функции в точке .

Для производной функции комплексного переменного вводятся обозначения , .

Определение 2. Функция, имеющая производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке.

Теорема 1. Если функция дифференцируема в точке, то она в этой точке непрерывна.

Теорема, обратная данной, неверна, так как можно привести примеры функций, непрерывных в точке, но не являющихся в ней дифференцируемыми.

Теорема 2. Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы приращение функции можно было представить в виде: , где .

Теорема 3. Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы функции , были дифференцируемы в этой точке и выполнялись условия Коши-Римана (иногда их называют условиями Даламбера-Эйлера):

. (45)

Определение 3. Функция называется аналитической (регулярной) в данной точке , если она дифференцируема как в самой точке , так и в некоторой ее окрестности.

Определение 4. Функция называется аналитической в области , если она аналитична в каждой точке этой области.

Очевидно, что функция, аналитическая в точке, будет и дифференцируема в ней. Обратное может не иметь места.

Из определения следует, что функция аналитична в области , если она дифференцируема в этой области.

Замечание. Так как все определения аналогичны определениям в случае функции действительной переменной, значит для функции комплексной переменной справедливы обычные правила дифференцирования и теоремы о производной сложной и обратной функций.

Для любой аналитической функции имеем

. (46)

Пример 1. Показать, что функция аналитична, и найти .

Получаем , т.е. , . Поэтому , , , и, следовательно, условия (45) выполняются во всей плоскости; по первой из формул (46) имеем .

Пример 2. Является ли функция аналитической хотя бы в одной точке?

Получаем , так что , . Условия Коши–Римана имеют вид: , и выполняются только в точке . Следовательно, функция дифференцируема только в точке и нигде не аналитична. По определению (44) запишем: . Таким образом, производная существует и равна нулю.


^ 3.2 Гармонические функции. Сопряженно-гармонические функции. Восстановление аналитической функции


Определение 1. Функция называется гармонической в области , если она имеет в этой области непрерывные частные производные до второго порядка включительно и в этой области лапласиан , т.е. .

Определение 2. Две гармонические функции , , удовлетворяющие условию (45), называются сопряженно-гармоническими функциями.

Теорема. Для того чтобы функции , были соответственно действительной и мнимой частями аналитической функции , необходимо и достаточно, чтобы они были сопряженно-гармоническими функциями.

Пользуясь условиями Коши-Римана, аналитическую функцию можно восстановить, если известна ее действительная или мнимая часть .

Пример 1. При каких условиях трехчлен является гармонической функцией?

Находим: , . Лапласиан (т.е. ), если при любом .

Пример 2. Найти аналитическую функцию, если известна ее мнимая часть при дополнительном условии .

Так как , то из условий Коши-Римана (45) находим производные (1); (2). Решив первое из этих уравнений, находим: , где – произвольная функция переменной . Для определения дифференцируем по и подставляем в (2): , откуда и . Следовательно, и окончательно получим:



.

Определим : и ; таким образом, .


^ 3.3 Геометрический смысл модуля и аргумента производной


Если функция аналитична в точке и , то равен коэффициенту растяжения в точке при отображении плоскости на плоскость . Аргумент производной равен углу, на который нужно повернуть касательную в точке к любой гладкой кривой на плоскости , проходящей через точку , чтобы получить направление касательной в точке .

Пример. Найти коэффициент растяжения и угол поворота при отображении в точке .

Имеем , так что . Перейдя от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической, получим: , т.е. . угол поворота .


^ 3.4 Конформные отображения


Определение 1. Отображение называется конформным в точке , если оно сохраняет углы между кривыми и обладает свойством постоянства растяжений в точке по всем направлениям, выходящим из точки .

Теорема 1. Если функция аналитическая в точке и , то отображение является конформным в точке .

Определение 2. Функция называется однолистной в области , если для любых из .

Пример 1. Функция не является однолистной на всей комплексной плоскости, так как для и выполняется условие .

Определение 3. Отображение называется конформным в области , если оно конформно в каждой точке области и функция является аналитической и однолистной в области .

Докажем следующую теорему.

Теорема 2. Пусть функция – однолистная и аналитическая в области и в каждой точке области . Тогда отображение будет конформным в области .

Доказательство: в силу условия при и теоремы 1. отображение, осуществляемое функцией , является конформным в каждой точке области D.

Следовательно, отображение будет конформным в области , так как выполняются все условия определения 3.

Таким образом, мы доказали, что условия аналитичности, однолистность и неравенство нулю производной функции является достаточными условиями конформности отображения, осуществляемого этой функцией.


^ 3.5 Основная задача и общие теоремы теории конформных отображений


В настоящем параграфе приведем без доказательства ряд теорем, которые имеют большое значение при решении задач на конформные отображения.

Основной задачей теории конформных отображений является следующая задача.

Даны две области и комплексной плоскости; требуется найти функцию осуществляющую конформное отображение одной из этих областей на другую. Эта задача не всегда имеет решение. Например, невозможно взаимно-однозначное конформное отображение; многосвязной области на односвязную.

Таким образом, возникают вопросы об условиях существования и однозначного определения функции, конформно отображающей область на область .

Б.Риманом в 1851 году была доказана следующая теорема, которую называют основной теоремой теории конформных отображений.

Теорема 3. Пусть и – две произвольные односвязные области, границы которых состоят более чем из одной точки. Тогда существует и только одно конформное отображение области на область такое, что

, , (*)

где , , – заданное действительное число (см. рисунок 11).



Рисунок 11

Условия (*) называются условиями нормировки конформного отображения. Вместо (*) можно задать другие условия. Например, можно задать

, ,

где , – внутренние, , – граничные точки областей и соответственно, или

, ,

где , , – различные граничные точки области , , , – различные граничные точки области , причем точки , , и , , следуют в порядке положительного обхода границ и областей и соответственно.

Теорема Римана устанавливает факт существования функции, конформно отображающей область на область , но не дает удобного способа построения ее. Кроме того, эта функция выражается через элементарные функции лишь для простых областей. Поэтому изучение частных случаев отображений с помощью комбинаций элементарных функций имеет большое практическое значение.

Приведем без доказательства теорему о соответствии границ.

Теорема 4. Пусть и – односвязные области, причем их границы и – простые замкнутые кусочно-гладкие кривые.

Если функция конформно отображает область на область , то

1) функцию можно непрерывно продолжить на замыкание области , т.е. можно доопределить на так, что получится непрерывная в функция;

2) эта функция отображает однозначно кривую на кривую с сохранением ориентации.

Для практики важен следующий в известном смысле обратный теореме 4. принцип соответствия границ.

Теорема 5. Пусть в односвязной области , ограниченной контуром , задана однозначная аналитическая функция , непрерывная в и осуществляющая взаимно однозначное отображение контура на некоторый контур плоскости . Тогда, если при заданном отображении контуров сохраняется направление обхода, то функция осуществляет конформное отображение области на внутреннюю область , ограниченную контуром .

Из принципа соответствия границ следует, что для того, чтобы определить область , на которую аналитическая функция конформно отображает данную область , достаточно найти контур, на который эта функция отображает границу области и установить направление обхода этого контура.

Пример 1. Найти область , на которую функция конформно отображает область , ограниченную контуром :

.

Решение: пусть , .

Тогда . Отсюда , , т.е. , .

Контур отображается в контур .



или

,

т.е. окружность радиуса 10 с центром в точке .

Легко убедиться, задав контуры параметрическими уравнениями, что положительное направление обхода контура соответствует положительному направлению обхода контура .

Тогда на основании принципа соответствия границ, заключаем, что функция осуществляет конформное отображение внутренности рассматриваемой окружности на внутренность окружности

.

Пример 2. Найти функцию, которая отображает конформно угол плоскости на угол плоскости (рисунок 12).

Решение: поставленную задачу решает комплексная функция , так как она произвольный луч , отображает на луч , . при изменении от 0 до луч описывает открытый угол , а его образ луч описывает открытый угол – верхнюю полуплоскость. Указанное отображение будет однолистным в , аналитичным и , если (точка ).



Рисунок 12





страница4/10
Дата конвертации16.12.2012
Размер1,31 Mb.
ТипУчебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rud.exdat.com


База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2012
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Документы