Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих теорию функции комплексного переменного. © Острая О. В., 2008 icon

Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов всех специальностей, изучающих теорию функции комплексного переменного. © Острая О. В., 2008



Смотрите также:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

^ 3.6 Задачи для самостоятельного решения


1. Пользуясь условиями Коши-Римана, выяснить, какие из следующих функций являются аналитическими хотя бы в одной точке.

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

2. Найти области аналитичности функций и их производные:

а) ; б) .

3. Показать, что следующие функции являются гармоническими:

а) ; б) ; в) ;

г) .

4. Проверить гармоничность приведенных ниже функций в указанных областях и найти, когда это возможно, аналитическую функцию по данной ее действительной или мнимой части:

а) , , ; б) , ;

в) , , ; г) , ,

д) , , ; е) , , .

5. Найти коэффициент растяжения и угол поворота для заданных отображении в указанных точках:

а) , ; б) , ; в) , .

4 Интегрирование функции комплексного переменного


^ 4.1 Интеграл по кривой и его вычисление


Определение 1. Кривой в комплексной плоскости называется образ отрезка при непрерывном отображении , где , тогда называется началом, а называется концом кривой.

Определение 2. Кривая называется гладкой, если функция имеет во всех точках отрезка непрерывные производные, отличные от нуля.

Определение 3. Кривая называется кусочно-гладкой, если она может быть разбита на конечное число частей, каждая из которых представляет собой гладкую кривую.

Пусть однозначная функция определена и непрерывна в области ; – кусочно-гладкая замкнутая или незамкнутая кривая, лежащая в .

По определению

. (47)

Теорема (достаточное условие существования интеграла). Пусть однозначная функция непрерывна в области , тогда интеграл от этой функции вдоль любой кусочно-гладкой кривой , содержащейся в области , существует.

Заметим, что функции и , будучи действительной и мнимой частями непрерывной функции, сами являются непрерывными функциями двух действительных переменных. Кривая – кусочно-гладкая, значит выполняются все условия теоремы существования обычного криволинейного интеграла, т.е. если , то

(48)

– вычисление интеграла (47) сводится к вычислению обычных криволинейных интегралов второго рода. Заметим, что интеграл (47) зависит, вообще говоря, от пути интегрирования .

Пусть кривая задана параметрическими уравнениями , (или в комплексной форме ), начальная и конечная точки кривой соответствуют значениям параметра .

Тогда

. (49)

Если аналитична в односвязной области ,, – какая-либо первообразная для (), то имеет место формула Ньютона-Лейбница:

. (50)

Справедлива формула интегрирования по частям:

, (51)

где , – аналитические функции в односвязной области , – произвольные точки этой области.

Замена переменных в интегралах от функции комплексного переменного аналогична случаю функции действительного переменного. Пусть аналитическая функция отображает взаимно однозначно контур в плоскости на контур в плоскости . Тогда

(52)

Если функция является многозначной, то для вычисления интеграла указывается, какая именно однозначная ветвь ее берется при этом. Это достигается заданием значения многозначной функции в некоторой точке контура интегрирования. Если контур интегрирования замкнут, то начальной точкой пути интегрирования считается та, в которой задано значение подынтегральной функции.

Так как определение интеграла от функции комплексного переменного почти не отличается от определения криволинейного интеграла от функции действительного переменного, то и свойства криволинейного интеграла от функции действительного переменного можно перенести на случай комплексного переменного.

Пример 1. Вычислить по кривой , соединяющей точки .

Для параболы имеем , . По формуле (48) .

Пример 2. Вычислить , где – дуга окружности , .

Положим , . Тогда , и по формуле (49) находим:

.

Пример 3. Вычислить .

Так как подынтегральная функция аналитична всюду, то по (50) найдем: .

Пример 4. Вычислить.

Функции и аналитичны всюду. По формуле (51) получим:

.

Пример 5. Вычислить ,

.

Функция является многозначной: , ; . Условию удовлетворяет та однозначная ветвь этой функции, для которой . Действительно, при (и так как ) . Полагая теперь , на кривой , находим , и, следовательно, .


^ 4.2 Теорема Коши. Интегральные формулы Коши


Теорема Коши. Если функция аналитична в односвязной области, ограниченной контуром , и – замкнутый контур в , то

. (53')

Если, помимо того, функция непрерывна в замкнутой области , то

(53)

– теорема Коши для односвязной области.

Если функция аналитична в многосвязной области , ограниченной внешним контуром и внутренними контурами и непрерывна в замкнутой области , то (контур обходится в положительном направлении)

(54)

– теорема Коши для многосвязной области. Дадим другую формулировку этой теоремы:

(55)

– интеграл по внешнему контуру равен сумме интегралов по внутренним контурам (все контуры проходятся в одном и том же направлении).

Если аналитична в области , и – контур, охватывающий точку , то справедлива интегральная формула Коши

. (56)

При этом функция имеет всюду в производные любого порядка, для которых справедлива формула

. (57)

Пример 1. Вычислить .

Внутри окружности знаменатель дроби обращается в нуль в точке . Для удобства применения формулы (56) перепишем интеграл в виде . Здесь и аналитична в круге . Тогда .

Пример 2. Вычислить : по а) контуру ; б) .

а) в круге функция аналитична; следовательно, по формуле (53) ;

б) так как внутри контура интегрирования знаменатель подынтегральной функции обращается в нуль в точках и , то для того, чтобы стало возможным применить формулы (56) и (57), рассмотрим многосвязную область (рисунок 13), ограниченную окружностью и внутренними контурами и .



Рисунок 13

Тогда в области функция является аналитической, и по теореме (55) можно записать: . Для вычисления интегралов справа применим формулы (56) и (57):

;

и, таким образом, .


^ 4.3 Задачи для самостоятельного решения


Вычислить интегралы по заданным контурам:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. отрезок от точки до точки .

6. .

7. .

8. .

9. .

Применяя теоремы и интегральные формулы Коши, вычислить интегралы:

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .


5 Ряды в комплексной области


^ 5.1 Числовые ряды


Рассмотрим ряд с комплексными членами

. (58)

Теорема. Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходились оба ряда:

()

()

Определение. Ряд (58) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

(59)

Ряды (), () и (59) являются рядами с действительными членами, и вопрос об их сходимости решается с помощью известных признаков сходимости рядов в действительной области.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .

а) имеем . Таким образом, вопрос о сходимости данного ряда сводится к вопросу о сходимости рядов с действительными членами и . Так как каждый из рядов сходится абсолютно, то и данный ряд сходится абсолютно;

б) приведем другое решение. Исследуем ряд на абсолютную сходимость, для чего составим ряд – этот ряд сходится абсолютно.

Пример 2. Исследовать поведение ряда .

Так как ряд расходится, то расходится и исходный ряд.


^ 5.2 Степенные, сходящиеся к ним и двусторонние ряды


Определение 1. Ряд вида

, (60)

где – комплексные постоянные, a – комплексная переменная, называется степенным рядом в комплексной области.

Определение 2. Ряд вида

(61)

называется степенным рядом общего вида.

Определение 3. Ряд вида

(62)

называется рядом, сходящимся к степенному общего вида.

Определение 4. Двусторонним называется ряд вида

. (63)

Область сходимости степенного ряда (58) есть круг с центром в начале координат: , где радиус сходимости. В некоторых cлучаях он может быть определен по формулам

а) ; б) . (64)

Для рядов (61) областью сходимости служит круг . Область сходимости ряда (62) ищется после проведения замены: . Ряд вида (63) сходится в области, в которой сходятся ряды

(65)

(66)

Пусть ряд (65) сходится в области , т.е. вне круга с центром в точке и радиуса , а ряд (66) в круге . Тогда, если: 1) , то ряд (63) расходится всюду; 2) , то ряд (63) сходится в кольце . Здесь , .

Пример 1. Найти радиус сходимости степенного ряда .

Находим модуль коэффициента . Применяя формулу б) из (64), находим .

Пример 2. Найти область сходимости ряда .

Имеем , и

. Следовательно, ряд сходится в области , т.е. вне круга с центром в точке радиуса .

Пример 3. Определить область сходимости ряда .

Для ряда имеем .

Следовательно, . Первый ряд сходится в области . Для степенного ряда имеем , . Его радиус сходимости , т.е. второй ряд сходится в области . Данный ряд расходится всюду.

Пример 4. Определить область сходимости ряда .

Для первого из рядов имеем , Следовательно, . Первый ряд сходится в области . Для второго ряда имеем . Радиус его сходимости – он сходится в области . Таким образом, данный ряд сходится в кольце .





страница5/10
Дата конвертации16.12.2012
Размер1,31 Mb.
ТипУчебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rud.exdat.com


База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2012
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Документы