Рабочая программа дисциплины математический анализ направление ооп: 010400 «Прикладная математика и информатика»
Смотрите также:
- Рабочая программа дисциплины компьютерные модели и их применение в 3 направление ооп 010400
- Рабочая программа дисциплины теория игр и исследование операций направления 010400 «Прикладная
- Программа дисциплины «Современные технологии баз данных» для направления 010400
- Программа дисциплины Методы и алгоритмы кодирования и передачи телевизионного сигнала для
- Программа междисциплинарного экзамена по направлению 010400 Прикладная математика и информатика
- Программа вступительного испытания для поступающих в магистратуру по направлению 010400
- Программа дисциплины «Принятие индивидуальных и коллективных решений» для направления 010400
^
Структура дисциплины по разделам, формам организации и контроля обучения
^
^
изучение теоретического материала дисциплины на лекциях и практике;
самостоятельное изучение теоретического материала дисциплины с использованием Internet-ресурсов, информационных баз, методических разработок, специальной учебной и научной литературы;
работе студентов с лекционным материалом, поиск и анализ литературы и электронных источников информации по заданной проблеме и выбранной теме курсовой работы,
в выполнении домашних заданий,
в изучении тем, вынесенных на самостоятельную проработку,
в изучении теоретического материала к практическим занятиям,
в изучении теоретического материала по теме курсовой работы, оформлении отчета и презентации доклада,
подготовке к экзамену.
Полярная система координат.
Доказательства теорем о сходящихся последовательностях.
Остаточный член формулы в форме Пеано и форме Лагранжа.
Теорема о представлении правильной рациональной дроби в виде суммы конечного числа простых дробей.
Годограф.
Верхняя и нижняя суммы Дарбу, их свойства.
Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных.
Геометрический и физический смысл криволинейного и поверхностного интегралов.
Эталонные ряды.
Доказательство теорем о свойствах абсолютно сходящихся рядов: перестановка и группировка членов, умножение рядов.
Ряды многочленов. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении многочленами непрерывной на отрезке функции.
поиске, анализе, структурировании и презентации информации, анализе научных публикаций по определенной теме исследований,
исследовательской работе и участии в научных студенческих конференциях, семинарах и олимпиадах,
Замена переменных в двойном интеграле. Геометрический вывод. Выбор криволинейной системы координат.
Метод последовательных приближений в теории неявных функций.
Интерполирование. Интерполяционные формулы Лагранжа и Эрмита.
Дельта функция Дирака и ее применение.
Уравнение Бесселя. Разложение решения в обобщенный степенной ряд.
Потенциальные и соленоидальные поля. Обратная задача векторного анализа. Теорема Гельмгольца.
Основная теорема алгебры. Гауссово доказательство.
Оценка остатков в зависимости от дифференциальных свойств функции.
Применение квадратурной формулы Чебышева для вычисления определенного интеграла.
Приложение формулы Остроградского-Гаусса к исследованию поверхностных интегралов. Интеграл Гаусса.
Электромагнитное поле и уравнения Максвелла. Интегральная и дифференциальная формы.
Уравнения Максвелла. Волновые уравнения.
Теоретический вопрос на понятие или определение, привести пример.
Доказательство (или формулировка) теоремы.
Решить пример.
Определите с какого номера последовательность
строго возрастает, 
.
Первый замечательный предел. Получите формулу и приведите примеры.
Найдите предел
, используя правило Лопиталя.
Сформулируйте теорему о дифференцируемости и непрерывности функции в точке. Покажите, что обратное утверждение может не выполняться.
Найдите точки экстремума и интервалы монотонности функции
.
С
формулируйте определение асимптоты. Докажите критерий существования наклонной асимптоты.
Интегрирование методом замены переменной. При каких условиях справедлива формула замены переменой?
Вычислите интеграл:
.
Сформулируйте и докажите теорему о среднем значении функции.
Сформулируйте определение и покажите геометрический смысл несобственного интеграла 2 рода. Приведите пример.
Определите объем эллипсоида
.
Сформулируйте теоремы о непрерывности и равномерной непрерывности функции многих переменных в точке.
Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
Доказать, что функция
имеет условные экстремумы на окружности радиусом 1 в плоскости 
, но не имеет локальных экстремумов.
Осуществите преобразование частной производной, принимая
и 
за новые переменные: 
, где 
.
Вычисление двойного интеграла. Связь двойного интеграла с повторным.
Понятие дифференциала поверхности. Вычисление площади поверхности, заданной в неявном виде. Приведите пример.
Исходя из равенства
, вычислите 
.
Скалярное поле. Градиент скалярного поля.
Дайте определения скалярного и векторного потенциалов.
Покажите, что работа силы тяжести по перемещению материальной точки массой
не зависит от пути, а зависит от начальной и конечной точек перемещения.
Знакочередующиеся числовые ряды. Сходимости. Признак Вейрштрасса. Свойства.
Сформулируйте свойство почленного дифференцирования функционального ряда. Приведите пример.
Разложите в ряд Фурье функцию
с периодом 
на интервале 
.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, т. 1,2 М.: Высшая школа, 1988г., т. 3, 1989.
А.М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин. Курс математического анализа. М.:Наука, 1988.
Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Высшая математика. Дифференциальное интегральное исчисления. Ростов н/Д, изд-во «Феникс», 1997.
Я.С Бугров, С.М. Никольский. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. Ростов н/Д, изд-во «Феникс», 1998.
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа, ч. I, II Москва, изд-во «Наука», 1973.
Г.Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М.:
Высшая школа, 1994.
Л.И.Терехина, И.И.Фикс Высшая математика. Учебное пособие. Томск, 2001, Ч. 2-3.
Л. Д. Кузнецов. Краткий курс математического анализ, 1982.
Н.С. Пискунов Дифференциальное и интегральное исчисление
П.Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах, Ч. 1 ,2.
В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, Г.Н. Медведев, А.А. Шишкин. Математический анализ в вопросах и задачах, 1993.
Сборник задач по математике для студентов под редакцией А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Л. И. Магазинников Высшая математика. Специальные разделы. -
Томск.: изд. Томского ун-та, 1992. Ч. 1,2.
Н.Ф. Пестова, Э.Н. Подскребко. Математический анализ. Методические указания к лекционному курсу и послелекционной самостоятельной работе по математическому анализу, Томск, 1988г. – с.130.
Кан Ен Хи, Н.Ф. Пестова, Э.Н. Подскребко. Дифференциальное исчисление функций одной переменной, ТПУ, 1999г. – с.86.
Н.Ф. Пестова. Неопределенный интеграл. Томск, 1999г. – с.100.
Э.Н. Подскребко, Н.Ф. Пестова. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Томск, 1997г. – с.160.
Л.И.Кабанова. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. – Томск: Изд. ТПУ, 1997.
«Национальный исследовательский Томский политехнический университет» УТВЕРЖДАЮ Проректор-директор ИК ТПУ ___________ М.А. Сонькин «___» ____________2011 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НАПРАВЛЕНИЕ ООП: 010400 «Прикладная математика и информатика» КВАЛИФИКАЦИЯ (СТЕПЕНЬ): бакалавр БАЗОВЫЙ УЧЕБНЫЙ ПЛАН ПРИЕМА 2011 г. КУРС 1 и 2; СЕМЕСТР 1, 2 и 3; КОЛИЧЕСТВО КРЕДИТОВ: 20 ПРЕРЕКВИЗИТЫ: нет КОРЕКВИЗИТЫ: «Алгебра и геометрия» ^
ВИД ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ: ЭКЗАМЕНЫ В 1, 2 и 3 СЕМЕСТРАХ, ЗАЧЕТЫ В 1, 2 и 3 СЕМЕСТРАХ, КУРСОВАЯ РАБОТА В 3 СЕМЕСТРЕ. ^ ЗАВЕДУЮЩИЙ КАФЕДРОЙ: д.ф.-м.н., профессор В.П.Григорьев РУКОВОДИТЕЛЬ ООП: к.т.н., доцент Д.Ю.Степанов ПРЕПОДАВАТЕЛЬ: д.ф.-м.н., профессор Т.В.Коваль 2011г. ^ В результате освоения данной дисциплины студент приобретает знания, умения и навыки, обеспечивающие достижение целей P1, Р2 и Р9 основной образовательной программы 010400 «Прикладная математика и информатика». Основные цели преподавания курса математического анализа. 1. Изучение предусмотренных программой определений, теорем, их доказательств, связей между ними, формирование умения применять полученные знания при решении конкретных задач. 2. Создание отношения к математическому анализу как к инструменту исследования и решения прикладных задач. Эта цель достигается выработкой у студентов понимания сущности математической модели и умения моделировать некоторые наиболее доступные объекты, процессы и явления. 3. Развитие у студентов логического и алгебраического мышления, математической интуиции, точности и обстоятельности аргументации, т.е. воспитания математической культуры, которая способствовала бы включению будущих специалистов в процесс активного познания, в частности, обеспечивала бы им возможность самостоятельного овладения новым математическим аппаратов. ^ Дисциплина относится к базовым дисциплинам математического и естественнонаучного цикла (Б2.Б1). Кореквизитами для дисциплины «Математический анализ» является дисциплина «Алгебра и геометрия». ^ При изучении дисциплины студенты должны получить представление: о значении математического анализа в математике, естествознании, инженерных дисциплинах и общественных науках; об индукции и дедукции, доказательных и правдоподобных рассуждениях, их роли в процессе научного познания; об условном суждении и эквивалентных ему утверждениях. Студенты должны будут уметь: грамотно применять основные понятия и методы математического анализа, представляя реальные границы их применения; проверять найденные решения; самостоятельно овладевать новыми математическими знаниями, опираясь на опыт, приобретенный в процессе изучения курса математического анализа. После изучения данной дисциплины студенты приобретают знания, умения и опыт, соответствующие результатам основной образовательной программы: Р1, Р2, Р9. Соответствие результатов освоения дисциплины «Математический анализ» формируемым компетенциям ООП представлено в таблице.
При сдаче индивидуальных заданий (ИДЗ) и письменных работ проводится устное собеседование. Раздел 1. Введение в анализ Лекции. Практика. Вводная лекция. Роль математики в изучении окружающей действительности. Математика как средство решения прикладных задач, универсальный язык науки и элемент общей культуры. Понятие множества. Основные операции над множествами, их свойства. Логическая символика, некоторые свойства логических операций. Виды теорем. Условия необходимые, достаточные и существенные. Роль примеров и контрпримеров в анализе. Понятие мощности множества. Множества конечные, счетные и мощности континуума. Вещественные числа, их свойства. Границы числовых множеств. Теорема Больцано. Понятие функции. Взаимно-однозначное отображение, обратная функция. Композиция функций. Классификация элементарных функций. Числовая последовательность и ее предел. Свойства сходящихся последовательностей. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Признак сходимости монотонной последовательности. Число е. Фундаментальная последовательность, признак сходимости произвольной последовательности. Понятие подпоследовательности, ее свойства. Точные грани последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании сходящейся подпоследовательности для ограниченной последовательности. Предельная точка множества. Предел и непрерывность функции, определения по Коши и по Гейне, односторонние пределы. Свойства функций, имеющих конечный предел и непрерывных функций. Теорема о непрерывности элементарных функций. Первый и второй замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Эквивалентные функции, их свойства. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций. Точки разрыва функции, их классификация. Свойства функций, непрерывных на множестве. Теоремы Коши об обращении функции в ноль и о промежуточном значении. Теоремы Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции и о достижении непрерывной функций своих точных границ. Понятие равномерной непрерывности. Формулировка теоремы Кантора. ^ Лекции. Практика. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение интегральной суммы Римана. Понятие определенного интеграла, его геометрический и физический смысл. Необходимый признак интегрируемости функции. Верхняя и нижняя суммы Дарбу, их свойства. Критерий интегрируемости функции. Классы интегрируемых функций. Интегрируемость непрерывной функции, монотонной функции, интегрируемость ограниченной функции с конечным числом точек разрыва. Свойства определенного интеграла. Линейность аддитивность определенного интеграла. Теоремы об интегрировании неравенств и об оценке интеграла. Теорема о среднем. Основная теорема дифференциального и интегрального исчисления о связи определенного и неопределенного интегралов. Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления определенного интеграла. Геометрические применения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах. Определение и вычисление длины дуги плоской кривой. Вычисление объемов тел. Общая схема применения определенного интеграла к решению прикладных задач. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Определение, свойства. Признаки сходимости интегралов от неотрицательных функций. Абсолютная и условная сходимость. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Теорема сравнения. Абсолютная и условная сходимость. ^ Лекции. Практика. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной и метод интегрирования по частям. Интегрирование рациональных функций. Корни многочлена. Формулировка основной теоремы алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Простые рациональные дроби и их интегрирование. Теорема о представлении правильной рациональной дроби в виде суммы конечного числа простых дробей. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Интегрирование некоторых иррациональных функций. ^ Лекции. Практика. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение интегральной суммы Римана. Понятие определенного интеграла, его геометрический и физический смысл. Необходимый признак интегрируемости функции. Верхняя и нижняя суммы Дарбу, их свойства. Критерий интегрируемости функции. Классы интегрируемых функций. Интегрируемость непрерывной функции, монотонной функции, интегрируемость ограниченной функции с конечным числом точек разрыва. Свойства определенного интеграла. Линейность аддитивность определенного интеграла. Теоремы об интегрировании неравенств и об оценке интеграла. Теорема о среднем. Основная теорема дифференциального и интегрального исчисления о связи определенного и неопределенного интегралов. Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления определенного интеграла. Геометрические применения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах. Определение и вычисление длины дуги плоской кривой. Вычисление объемов тел. Общая схема применения определенного интеграла к решению прикладных задач. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Определение, свойства. Признаки сходимости интегралов от неотрицательных функций. Абсолютная и условная сходимость. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Теорема сравнения. Абсолютная и условная сходимость. ^ Лекции. Практика. Понятие метрического пространства. Координатное Евкли дово пространство. Некоторые топологические понятия. Определения, предел и непрерывность функции нескольких переменных. Свойства функций, непрерывных на ограниченном замкнутом множестве. Частные приращения и частные производные функции двух переменных, их геометрический и механический смысл. Полное приращение и полный дифференциал функции нескольких переменных. Определение и свойства дифференцируемой функции. Непрерывность дифференцируемой функции. Дифференцируемость функции с непрерывными частными производными. Дифференцирование сложной функции. Теорема об инвариантности формы полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных. Теоремы о существовании и гладкости неявно заданных функций (без доказательства). Скалярное поля. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению, определение, свойства и вычисление. Градиент скалярного поля, его свойства. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. Замена переменных в выражениях, содержащих производные. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции двух переменных. Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия. Экстремум функции многих переменных. Понятие квадратичной формы. Критерий Сильвестра. Наибольшее и наименьшее значения функции в ограниченной замкнутой области. Векторная функция векторного аргумента. Отображения. Определение и свойства матрицы Якоби и якобиана отображения. Геометрический смысл модуля якобиана отображения. Системы неявных функций. Независимые системы функций. Условия зависимости и независимости систем функций. Условный экстремум. Метод неопределенных множителей Лагранжа. ^ Лекции. Практика. Собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметра. Переход к переделу, интегрирование и дифференцирование по параметру под знаком интеграла. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла. Определение двойного интеграла, геометрический и физический смысл, теорема существования, свойства. Сведение двойного интеграла от непрерывной функции к повторному интегралу. Теорема о замене переменных под знаком двойного интеграла. Задачи, приводящие к понятию тройного интеграла. Тройной интеграл, определение, свойства, вычисление в декартовой системе координат. Формулировка теоремы о замене переменных под знаком тройного интеграла. Цилиндрические и сферические координаты, переход к ним в тройном интеграле. Приложения кратных интегралов (вычисление объемов тел и площадей фигур, решение задач механики и физики). Задача о вычислении работы силового поля. Определение, свойства и вычисление криволинейного интеграла по координатам. Теорема Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Отыскание функции по ее полному дифференциалу. Криволинейные интегралы по длине дуги. Определение, свойства, физический смысл, вычисление. Поверхностный интеграл по площади поверхности. Определение, формула для вычисления. Геометрический и физический смысл. ^ Лекции. Практика. Векторное поле. Векторные линии. Ориентация поверхности. Задача о вычислении потока векторного поля через поверхность. Определение, свойства и вычисление поверхностного интеграла по координатам. Теорема и формула Гаусса-Остроградского. Дивергенция векторного поля, ее физический смысл. Теорема о существовании и вычислении дивергенции. Свойства дивергенции, векторная запись формулы Гаусса-Остроградского. Соленоидальное поле. Векторная трубка. Основное свойство соленоидального векторного поля. Ориентация поверхности и направление обхода замкнутого контура. Теорема и формула Стокса. Циркуляция и ротор векторного поля. Механический смысл ротора, его свойства. Векторная запись формулы Стокса. Оператор Гамильтона. Дифференциальные операции первого порядка в скалярном и векторном полях. Потенциальные и безвихревые поля. Теорема об утверждениях , эквивалентных потенциальности векторного поля в пространственно-односвязной области. Дифференциальные операции второго порядка. ^ Лекции. Практика. Определение числового ряда, его частичной суммы. Сходимость ряда. Теоремы о сложении сходящихся рядов и умножении на скаляр. Необходимый признак сходимости. Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. Теоремы сравнения. Эталонные ряды. Теорема Даламбера, следствие из нее. Радикальный и интегральный признаки Коши. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Теоремы о свойствах абсолютно сходящихся рядов: перестановка и группировка членов, умножение рядов. Последовательности функций и функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Критерий Коши равномерной сходимости ряда. Мажорирующий ряд. Достаточный признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда. Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов. Теоремы о непрерывности суммы ряда, о почленном интегрировании и дифференцировании рядов, об условиях предельного перехода под знаком интеграла и под знаком производной. Определение степенного ряда. Теорема Абеля. Структура области сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в степенные ряды. Применение степенных рядов к вычислению значений функций и к интегрированию функций. Тригонометрические ряды. Разложение нечетных и нечетных функций в тригонометрический ряд. Теорема Дирихле. Разложение функции, заданной на половине периода. Комплексная форма ряда Фурье Ряды многочленов. ^ Распределение компетенций по разделам дисциплины Распределение по разделам дисциплины планируемых результатов обучения по основной образовательной программе, формируемых в рамках данной дисциплины и указанных в пункте 3.
При освоении дисциплины используются следующие сочетания видов учебной работы с методами и формами активизации познавательной деятельности студентов для достижения запланированных результатов обучения и формирования компетенций.
Для достижения поставленных целей преподавания дисциплины реализуются следующие средства, способы и организационные мероприятия: ^ 6.1 Текущая и опережающая СРС, направленная на углубление и закрепление знаний, а также развитие практических умений заключается в: 6.1.1. Темы, выносимые на самостоятельную проработку: 6.2 ^ (ТСР) направлена на развитие интеллектуальных умений, комплекса универсальных (общекультурных) и профессиональных компетенций, повышение творческого потенциала студентов и заключается в: ^ ^ Оценка успеваемости студентов осуществляется по результатам: - самостоятельных работ и по итогам контрольных работ, - взаимного рецензирования студентами работ друг друга, - устного опроса при сдаче выполненных индивидуальных заданий, защите отчетов по курсовой работе и во время экзамена в каждом семестре (для выявления знания и понимания теоретического материала дисциплины). ^ Экзаменационные билеты включают три типа заданий по каждому разделу семестра: ^ 1 семестр Тема 1: “Последовательности. Пределы. Непрерывность” Тема 2: “Дифференцирование” Тема 3: “Исследование функции” Тема 4: “Неопределенный интеграл” 2 семестр Тема 1: “Определенный интеграл” Тема 2: “Функция многих переменных” Тема 3: “Замена переменных” 3 семестр Тема 12: “Интеграл, зависящий от параметра кратные, криволинейные и поверхностные интегралы” Тема 2: “Векторный анализ” Тема 3: “Числовые и функциональные ряды” ^ Основная литература Вспомогательная литература Интернет-ресурсы: 9. Материально-техническое обеспечение модуля (дисциплины) Учебная аудитория 112, оснащенная современным оборудованием. Программа составлена на основе Стандарта ООП ТПУ в соответствии с требованиями ФГОС 3-его поколения по направлению подготовки 010400 «Прикладная математика и информатика». Авторы: Коваль Т.В. Программа одобрена на заседании кафедры ПМ (протокол № ____ от «___» _______ 2011 г.).
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
