Темы лекций. Лекция Основные понятия компьютерного моделирования Лекция 2,3 icon

Темы лекций. Лекция Основные понятия компьютерного моделирования Лекция 2,3



Смотрите также:
  1   2   3   4   5   6
Конспект лекций

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ



Темы лекций.


Лекция 1. Основные понятия компьютерного моделирования

Лекция 2,3. Математические модели сложных систем

Лекция 4. Языки программирования.

Лекция 5,6 Имитационное моделирование сложных систем.

Лекция 6,7. Методы имитации на ЭВМ случайных элементов. Статистический анализ результатов моделирования. Моделирование многомерных дискретных систем. Языки моделирования.


Лекция 1. Основные понятия компьютерного моделирования


В общем виде модель можно определить как условный образ (упрощенное изображение) реального объекта (процесса), который создается для более глубокого изучения действительности. Модель есть материально или теоретически сконструированный объект, который заменяет (представляет) объект исследования в процессе познания, находится в отношении сходства с последним и более удобен для исследования.

Метод исследования, базирующийся на разработке и использовании моделей, называется моделированием. Необходимость моделирования обусловлена сложностью, а порой и невозможностью прямого изучения реального объекта (процесса). Значительно доступнее создавать и изучать прообразы реальных объектов (процессов), т.е. модели. Можно сказать, что теоретическое знание о чем-либо, как правило, представляет собой совокупность различных моделей. Эти модели отражают существенные свойства реального объекта (процесса), хотя на самом деле действительность значительно содержательнее и богаче.

Подобие между моделируемым объектом и моделью может быть физическое, структурное, функциональное, динамическое, вероятностное и геометрическое. При физическом подобии объект и модель имеют одинаковую или сходную физическую природу. Структурное подобие предполагает наличие сходства между структурой объекта и структурой модели. При выполнении объектом и моделью под определенным воздействием сходных функций наблюдается функциональное подобие. При наблюдении за последовательно изменяющимися состояниями объекта и модели отмечается динамическое подобие, вероятностное подобие  при наличии сходства между процессами вероятностного характера в объекте и модели, а геометрическое подобие  при сходстве пространственных характеристик объекта и модели.

Важнейшая особенность модели состоит в возможности неограниченного накопления специализированных знаний без потери целостного взгляда на объект исследования. Моделирование процессов в обществе, природе и технических системах – это основная компонента системного подхода к познанию этих процессов и управлению ими.

Адекватность модели объекту исследований всегда ограничена и зависит от цели моделирования. Всякая модель не учитывает некоторые свойства оригинала и поэтому является его абстракцией. Смысл абстрагирования заключается в отвлечении от некоторых несущественных в данном контексте свойств предмета и одновременном выделении существенных свойств.

На сегодняшний день общепризнанной единой классификации моделей не существует. Однако из множества моделей можно выделить словесные, графические, физические, экономико-математические и некоторые другие типы.

Словесная, или монографическая, модель представляет собой словесное описание объекта, явления или процесса. Очень часто она выражается в виде определения, правила, теоремы, закона или их совокупности.

^ Графическая модель создается в виде рисунка, географической карты или чертежа. Например, зависимость между ценой и спросом может быть выражена в виде графика, на оси ординат которого отложен спрос (D), а на оси абсцисс  цена (Р). Кривая нам наглядно иллюстрирует, что с ростом цены спрос падает, и наоборот. Конечно, данную зависимость можно выразить и словесно, но графически она намного нагляднее (рис. 1).



Рисунок 1 – Графическая модель, зависимость между спросом и ценой


^ Физические, или вещественные, модели создаются для конструирования пока еще несуществующих объектов. Создать модель самолета или ракеты для проверки ее аэродинамических свойств значительно проще и экономически целесообразнее, чем изучать эти свойства на реальных объектах.

Экономико-математические модели отражают наиболее существенные свойства реального объекта или процесса с помощью системы уравнений. Единой классификации экономико-математических моделей также не существует, хотя можно выделить наиболее значимые их группы в зависимости от признака классификации.

По степени агрегирования объектов моделирования различают модели:

  • микроэкономические;

  • одно-, двухсекторные (одно-, двухпродуктовые);

  • многосекторные (многопродуктовые);

  • макроэкономические;

  • глобальные.

По учету фактора времени различают модели:

  • статические;

  • динамические.

В статических моделях система описана в статике, применительно к одному определенному моменту времени. Это как бы снимок, срез, фрагмент динамической системы в какой-то момент времени. Динамические модели описывают систему в развитии.

По цели создания и применения различают модели:

  • балансовые;

  • эконометрические;

  • оптимизационные;

  • сетевые;

  • систем массового обслуживания;

  • имитационные (экспертные).

В балансовых моделях отражается требование соответствия наличия ресурсов и их использования.

Параметры эконометрических моделей оцениваются с помощью методов математической статистики. Наиболее распространены эконометрические модели, представляющие собой системы регрессионных уравнений. В данных уравнениях отражается зависимость эндогенных (зависимых) переменных от экзогенных (независимых) переменных. Данная зависимость в основном выражается через тренд (длительную тенденцию) основных показателей моделируемой экономической системы. Эконометрические модели используются для анализа и прогнозирования конкретных экономических процессов с использованием реальной статистической информации.

^ Оптимизационные модели позволяют найти из множества возможных (альтернативных) вариантов наилучший вариант работы системы, производства, распределения или потребления. Ограниченные ресурсы при этом будут использованы наиболее эффективным образом для достижения поставленной цели.

^ Сетевые модели наиболее широко применяются в управлении проектами. Сетевая модель отображает комплекс работ (операций) и событий и их взаимосвязь во времени. Обычно сетевая модель предназначена для выполнения работ в такой последовательности, чтобы сроки выполнения проекта были минимальными. В этом случае ставится задача нахождения критического пути. Однако существуют и такие сетевые модели, которые ориентированы не на критерий времени, а, например, на минимизацию стоимости работ.

^ Модели систем массового обслуживания создаются для минимизации затрат времени на ожидание в очереди и времени простоев каналов обслуживания.

Имитационная модель наряду с машинными решениями содержит блоки, где решения принимаются человеком (экспертом). Вместо непосредственного участия человека в принятии решений может выступать база знаний. В этом случае ЭВМ, специализированное программное обеспечение, база данных и база знаний образуют экспертную систему. Экспертная система предназначена для решения одной или ряда задач методом имитации действий человека, эксперта в данной области.

По учету фактора неопределенности различают модели:

  • детерминированные (с однозначно определенными результатами);

  • стохастические (с различными вероятностными результатами).

По типу математического аппарата различают модели:

  • линейного и нелинейного программирования;

  • корреляционно-регрессионные;

  • матричные;

  • сетевые;

  • теории игр;

  • теории массового обслуживания и т.д.




    1. Основные понятия имитационного моделирования




      1. Понятие имитационного моделирования


Имитационное моделирование (ИМ) – распространённая разновидность аналогов моделирования, реализуемого с помощью набора математических инструментальных средств, специальных имитирующих программных средств и технологий программирования, позволяющих посредствам процессов аналогов провести целенаправленное исследование структуры и функций реального сложного процесса в памяти компьютера в режиме «имитации», выполнить оптимизацию некоторых его параметров.

Имитационной моделью (ИМ) называется специальный программный комплекс, позволяющий имитировать деятельность какого-либо сложного объекта. Он выполняет на компьютере параллельно взаимодействующие процессы, которые являются по своим временным параметрам (с точностью по масштабам времени и пространства) аналогами исследуемых процессов.

ИМ удобно для исследования практических задач: определение показателей эффективности, сравнение вариантов построения и алгоритмов функционирования систем, проверки устойчивости режимов системы при малых отклонениях входных переменных от расчётных значений. Полнота имитации может быть проверена путём построения серии последовательно уточняемых моделей. Если дальнейшая детализация свойств модели не влияет на конечные показатели, то усложнение модели можно прекратить. Как правило, моделируются те свойства процесса, которые могут влиять на выбранный показатель эффективности или критичны к наложенным ограничениям. Промежуточные результаты имитационного моделирования имеют четкий физический смысл и позволяют обнаружить ошибки программы.

Однако ИМ присущи и недостатки:

  • большой расход машинного времени;

  • малая точность вероятностных характеристик редких событий;

  • трудность получения обобщающих выводов и рекомендаций;

  • сложность оптимизации системы (многовариантность расчётов при наличии вероятностных помех);

  • вероятностная оценка погрешности.

Таким образом применение ИМ становится целесообразным:

  • для накопления первичных данных об изучаемом явлении, если эти данные нельзя получить в натурном эксперименте;

  • для проверки планомерности допущений, сделанных разработчиком в целях перехода к аналитическим методам,

  • для демонстрации конечных результатов исследования на достаточно полной модели реальной ситуации,

  • при «безысходности», когда сложность ситуации намного превосходит возможности аналитических методов, известных разработчику.



Лекция 2,3. Математические модели сложных систем


Для создания ИМ необходима специальная система моделирования, имеющая набор языковых средств, сервисные подпрограммы, приёмы и технологии программирования. ИМ должна отражать большое число параметров, логику и закономерности поведения моделируемого объекта во времени (временная динамика), а для объектов экономики существует понятие финансовой динамики.

ИМ контролируемого объекта или процесса обеспечивается двумя видами деятельности, выполняемыми с помощью компьютера:

  • работа по созданию или модификации ИМ;

  • эксплуатация ИМ и интерпретация результатов.

  • ИМ систем применяется в двух случаях:

  • для управления сложным процессом, когда ИМ управляемого объекта используется в качестве инструментального средства в контуре адаптивной системы управления, создаваемой на основе имитационных технологий;

  • при проведении экспериментов с дискретно-непрерывными моделями сложных объектов для получения и отслеживания их динамики в экстренных ситуациях, связанными с рисками, натурное моделирование которых нежелательно или невозможно.



Типовые задачи, решаемые средствами компьютерного моделирования


  • моделирование процессов логистики для определения временных и стоимостных параметров;

  • управление процессом реализации инвестиционного проекта на различных этапах его жизненного цикла с учётом возможных рисков и тактики выделения денежных средств;

  • анализ процессов в работе сети кредитных организаций с учётом процессов взаимозачётов в условиях Российской Банковской Системы;

  • прогнозирование финансовых результатов деятельности предприятия на конкретный период времени с учётом анализа динамики сальдо на счетах;

  • бизнес-реинженеринг несостоятельного предприятия (изменяя его структуры ресурсов, прогноз финансовых результатов, выбор того или иного варианта реконструкции);

  • анализ адаптивных, свойств живучести компьютерной региональной банковской информационной системы;

  • оценка параметров надёжности и задержек в централизованной экономической информационной системе с возможностью коллективного доступа;

  • анализ эксплуатационных параметров распределённой, многоуровневой, ведомственной информационной управляющей системы с учётом неоднородной структуры, пропускной способности каналов связи и не совершенства физической организации распределённой базы данных в региональных центрах;

  • моделирование действий курьерской группы в регионе пострадавшем в результате природной катастрофы или промышленной аварии;

  • анализ сетевой модели для проектов замены и наладки производственного оборудования с учётом возникновения неисправностей;

  • анализ работы автотранспортного предприятия, занимающимся коммерческим перевозом грузов, с учётом спецификации товарных и денежных потоков в регионе;

  • расчёт параметров надёжности и издержек обработки информации в банковской информационной системе.


Лекция 4. Языки программирования.


1 период 1970-1980 гг. – впервые методы имитации для анализа экономических процессов применил Т. Нейлор. Однако применение имитационных методов для анализа носило эпизодический характер из-за сложности формализации экономических процессов, так как в математическом обеспечении ЭВМ отсутствовали формализованные языковые методы поддержки элементарных процессов и их функций, и отсутствовали формализуемые методы структурного системного анализа необходимые для иерархического разложения реального моделируемого процесса на элементарные составляющие.

Алгоритмические методы моделирования были достаточно трудоёмкими и при моделировании простых составляющих экономических процессов уступали математическим методам и решениям в аналитической форме.

Таким образом, ИМод применялось только в научной деятельности.

Однако для этого периода характерно появление первых технологичных средств ИМод, которые обладали свойствами инструментальных средств контролируемых процессов.

Одна из первых систем GPSS позволяла создавать модели контролируемых процессов и объектов в основном технического и технологического назначения.


2 период 1980-1990 гг. – характеризуется широким спектром появления новых систем ИМод (более 20 систем). Наиболее распространённые из них : GASP-4, SIMULA-67,GPSS-5, SLAM-2.

GASP-4 предоставила пользователю структурированный язык программирования, похожий на Фортран. Набор методов событийного моделирования дискретных подсистем модели и моделирования непрерывных систем с помощью уравнений переменных состояния, а так же датчики псевдослучайных чисел.

SIMULA-67 аналогичен, однако структурированный язык был похож на ALGOL-60.

Эффективность ИМод с помощью GASP and SIMULA в большей степени зависла от искусства программиста, в этих системах отсутствовали средства имитации пространственных динамических моделируемого процесса.

GPSS-5 – это законченная высокоуровневая информационная технология создания ИМ, имеющая средства формализованного описания параллельных дискретных процессов в виде графических изображений или с помощью операторов встроенного языка, при этом координация процессов осуществляется в едином модельном времени. Имелись средства управления моделью, динамическая отладка и автоматизация обработки результатов. Однако имелись три основных недостатка:

  • разработчик не мог включать непрерывные динамические компоненты в модель, даже при условии подключения своих подпрограмм

  • отсутствие средств имитации пространственных процессов

  • GPSS является интерпретирующей системой

SLAM-2 является наиболее развитой перечисленных систем однако сложнее в освоении чем GPSS и отсутствуют средства имитации пространственных процессов.

3 период 1990-2000 гг. связан с появлением различных новых пакетов ИМод.

Process Charter 1.0.2. позволяет строить блок схемы моделей, ориентирован на дискретное моделирование, имеет интеллектуальный, удобный и простой механизм построения моделей, низкую стоимость, приспособлен для решения задач распределения ресурсов, однако имеет слабую поддержку моделирования непрерывных компонентов, ограниченный набор средств для анализа чувствительности и построения диаграмм.

Powersim 2.01 прекрасное средство для построения непрерывных моделей, имеет множество встроенных функций для построения модели, коллективные средства, средство обработки массивов данных, однако имеет сложную систему обозначений и ограниченную поддержку дискретного моделирования.

I think 3.0.61 обеспечивает создание непрерывных и дискретных моделей, имеет встроенные блоки для обеспечения создания различных видов моделей, поддержка авторского моделирования для слабо подготовленных пользователей, имеет обучающую программу, развиты средства для анализа чувствительности, поддержка множества форматов вводимых данных. Недостатки: сложная система обозначений, ограниченное количество поддерживаемых функций.

Extend + BPR 3.1 поддерживается дискретное непрерывное моделирование, имеет интуитивно понятную среду построения моделей, множество встроенных блоков и функций, поддержка сторонними компаниями, имеет средства создания дополнительных функций на встроенном языке, однако в полной мере работает с компьютерами Macintosh, имеет высокую стоимость.

ReThink аналогичен «Extend + BPR 3.1», отличается лучшим графическим транслятором.

Pilgrim обладает широким спектром возможностей имитации временной, пространственной и финансовой динамики моделируемых объектов. Позволяет создавать непрерывно-дискретные модели. Разрабатываемые модели имеют свойство коллективного управления процессом моделирования. В текст модели можно вставлять любые блоки на языке С++. Большое быстродействие, сравнительно не высокая стоимость.

В России так же разработаны системы ИМод : РДО (ресурсы действия операции) МГТУ имени Баумана, мощное средство для создания продукционной модели. Обладает разными средствами компьютерной графики, используется для моделирования технологических и производственных процессов.

^ Осуществляется формализация структуры


Лекция 5,6

Имитационное моделирование сложных систем.

сложного процесса путём декомпозиции (разложение на подпроцессы) которые выполняют определённые функции и имеют взаимно функциональные связи согласно легенде разработанной рабочей экспертной группой. Каждый из этих подпроцессов может разлагаться в свою очередь на внутренние подпроцессы образуя иерархию имеющую многослойную структуру, результатом является формализованное изображение ИМ в графическом виде.

Особенно структурный анализ эффективен для моделирования экономических процессов, где многие составляющие подпроцессы не имеют под собой физической основы, протекают виртуально поскольку оперируют информацией, деньгами и логикой их обработки.


Формализованное описание модели


Графическое изображение ИМ, функций, каждого подпроцесса, условий взаимодействия всех подпроцессов и особенности поведения моделируемого процесса (временная, пространственная и финансовая динамика) должны быть описаны на специальном языке для последующей трансляции. Существуют следующие способы:

  • описание вручную на языке типа GPSS, Pilgrim, или Visual Basic;

  • автоматизированное описание с помощью компьютерного графического конструктора во время проведения структурного анализа, т. е. С незначительными затратами на программирование.



Построение модели


Это трансляция и редактирование связей (сборка модели), верификация (калибровка) параметров:

  • в режиме интерпретации (GPSS, SLAM-2, ReThink,)

  • в режиме компиляции (Pilgrim)

Режим интерпретации проще в реализации. Специальная программа – интерпретатор на основании формализованного описания модели запускает все имитационные подпрограммы. Неудобство – невозможность передачи модели без системы моделирования.

Использование режима компиляции приводит к получению модели в виде независимого программного продукта.

Верификация параметров модели выполняется в соответствии с легендой, на основании которой построена модель, с помощью специальных тестовых примеров.


Лекция 6,7. Методы имитации на ЭВМ случайных элементов. Статистический анализ результатов моделирования.


Для оптимизации определённых параметров реального процесса производится сначала планирование эксперимента и прогонов, затем сам машинный эксперимент, анализ результатов, интерпретация, реализация и документирование.


Моделирование многомерных дискретных систем. Языки моделирования.


Понятие корреляционного и регрессионного анализа


Для решения задач экономического анализа и прогнозирования очень часто используются статистические, отчетные или наблюдаемые данные. При этом полагают, эти данные являются значениями случайной величины.

Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от случая принимает различные значения с некоторой вероятностью. Закон распределения случайной величины показывает частоту ее тех или иных значений в общей их совокупности.

При исследовании взаимосвязей между экономическими показателями на основе статистических данных часто между ними наблюдается стохастическая зависимость. Она проявляется в том, что изменение закона распределения одной случайной величины происходит под влиянием изменения другой. Взаимосвязь между величинами может быть полной (функциональной) и неполной (искаженной другими факторами).

Пример функциональной зависимости  выпуск продукции и ее потребление в условиях дефицита.

Неполная зависимость наблюдается, например, между стажем рабочих и их производительностью труда. Обычно рабочие с большим стажем трудятся лучше молодых, но под влиянием дополнительных факторов  образование, здоровье и т.д. эта зависимость может быть искажена.

Раздел математической статистики, посвященный изучению взаимосвязей между случайными величинами, называется корреляционным анализом ( от лат. correlatio  соотношение, соответствие). Основная задача корреляционного анализа  это установление характера и тесноты связи между результативными (зависимыми) и факторными (независимыми) показателями (признаками) в данном явлении или процессе. Корреляционную связь можно обнаружить только при массовом сопоставлении фактов.

Характер связи между показателями определяется по корреляционному полю. Если y   зависимый признак, а x   независимый, то, отметив каждый случай ( ) с координатами x i и y i , получим корреляционное поле. По расположению точек можно судить о характере связи (рис. 2.1).



Рисунок 2.1 – Примеры корреляционных полей:

а   переменные x и y не коррелируют; б   наблюдается сильная положительная
корреляция; в   наблюдается слабая отрицательная корреляция

Теснота связи определяется с помощью коэффициента корреляции, который рассчитывается специальным образом и лежит в интервалах от минус единицы до плюс единицы. Если значение коэффициента корреляции лежит в интервале от 1 до 0,9 по модулю, то отмечается очень сильная корреляционная зависимость. В случае, если значение коэффициента корреляции лежит в интервале от 0,9 до 0,6, то говорят, что имеет место слабая корреляционная зависимость. Наконец, если значение коэффициента корреляции находится в интервале от - 0,6 до 0,6, то говорят об очень слабой корреляционной зависимости или полном ее отсутствии.

Таким образом, корреляционный анализ применяется для нахождения характера и тесноты связи между случайными величинами.

^ Регрессионный анализ своей целью имеет вывод, определение (идентификацию) уравнения регрессии, включая статистическую оценку его параметров. Уравнение регрессии позволяет найти значение зависимой переменной, если величина независимой или независимых переменных известна.

Практически, речь идет о том, чтобы, анализируя множество точек на графике (т.е. множество статистических данных), найти линию, по возможности точно отражающую заключенную в этом множестве закономерность (тренд, тенденцию),  линию регрессии.

По числу факторов различают одно-, двух- и многофакторные уравнения регрессии.

По характеру связи однофакторные уравнения регрессии подразделяются:

а) на линейные:

,

где x   экзогенная (независимая) переменная, y   эндогенная (зависимая, результативная) переменная, a , b   параметры;

б) степенные: ,

в) показательные: ,

г) прочие.


2.2 Определение параметров линейного однофакторного уравнения регрессии


Пусть у нас имеются данные о доходах ( ) и спросе на некоторый товар ( ) за ряд лет ( ):

Год
i

Доход
x

Спрос
y

1

x 1

y 1

2

x 2

y 2

3

x 3

y 3

...

...

...

n

x n

y n

Предположим, что между x и y существует линейная взаимосвязь, т.е.

.

Для того, чтобы найти уравнение регрессии, прежде всего нужно исследовать тесноту связи между случайными величинами x и y , т.е. корреляционную зависимость.

Пусть

x 1 , x 2 , ..., x n   совокупность значений независимого, факторного признака;

y 1 , y 2 , ..., y n   совокупность соответствующих значений зависимого, результативного признака;

n   количество наблюдений.

Для нахождения уравнения регрессии вычисляются следующие величины:

1. Средние значения

  для экзогенной переменной;

  для эндогенной переменной.

2. Отклонения от средних величин

, .

3. Величины дисперсии и среднего квадратичного отклонения

, ;

, .

Величины дисперсии и среднего квадратичного отклонения характеризуют разброс наблюдаемых значений вокруг среднего значения. Чем больше дисперсия, тем больше разброс.

4. Вычисление корреляционного момента (коэффициента ковариации):

.

Корреляционный момент отражает характер взаимосвязи между x и y . Если K x, y  > 0, то взаимосвязь прямая. Если K x, y  < 0, то взаимосвязь обратная.

5. Коэффициент корреляции вычисляется по формуле

.

Доказано, что коэффициент корреляции находится в интервале от минус единицы до плюс единицы (- 1 >=   R x, y <=  1). Коэффициент корреляции в квадрате называется коэффициентом детерминации.

Если R x, y  >  |0,8|, то вычисления продолжаются.

6. Вычисления параметров регрессионного уравнения.

Коэффициент b находится по формуле

.

После чего можно легко найти параметр a :

.

Коэффициенты a и b находятся методом наименьших квадратов, основная идея которого состоит в том, что за меру суммарной погрешности принимается сумма квадратов разностей (остатков) между фактическими значениями результативного признака y i и его расчетными значениями y i  р , полученными при помощи уравнения регрессии

.

При этом величины остатков находятся по формуле

,

где y i   фактическое значение y ; y i  р   расчетное значение y .


    1. Оценка величины погрешности линейного однофакторного уравнения


1. Обозначим разность между фактическим значением результативного признака и его расчетным значением как u i :

где y i   фактическое значение y ; y р   расчетное значение y ; u i   разность между ними.

2. В качестве меры суммарной погрешности выбрана величина

.

Для нашего примера S = 0,432.

Поскольку (среднее значение остатков) равно нулю, то суммарная погрешность равна остаточной дисперсии.

3. Остаточная дисперсия находится по формуле

.

Для нашего примера Можно показать, что

.

Если , то ;

, то .

Таким образом, 0£ D u £ D y .

Легко заметить, что если

то .

Это соотношение показывает, что в экономических приложениях допустимая суммарная погрешность может составить не более 20% от дисперсии результативного признака D y .

4. Стандартная ошибка уравнения находится по формуле

,

где D u   остаточная дисперсия. В нашем случае

5. Относительная погрешность уравнения регрессии вычисляется как

,

где   стандартная ошибка;   среднее значение результативного признака.

В нашем случае

Если величина мала и отсутствует автокорреляция остатков, то прогнозные качества оцененного регрессионного уравнения высоки.

6. Стандартная ошибка коэффициента b вычисляется по формуле

.

В нашем случае она равна

Для вычисления стандартной ошибки коэффициента a используется формула

.

В нашем примере

Стандартные ошибки коэффициентов используются для оценивания параметров уравнения регрессии.

Коэффициенты считаются значимыми, если



В нашем примере



Коэффициент а не значим, так как указанное отношение больше 0,5, а относительная погрешность уравнения регрессии слишком высока  26,7%.

Стандартные ошибки коэффициентов используются также для оценки статистической значимости коэффициентов при помощи t -критерия Стьюдента. Значения t -критерия Стьюдента содержатся в справочниках по математической статистике. В таблице 2.1 приводятся его некоторые значения.

Далее находятся максимальные и минимальные значения параметров ( b- , b + )по формулам:



Таблица 2.1 – Некоторые значения t -критерия Стьюдента

Степени свободы

Уровень доверия ( с )

( n- 2)

0,90

0,95

1

6,31

12,71

2

2,92

4,30

3

2,35

3,18

4

2,13

2,78

5

2,02

2,57

Для нашего примера находим

,

.

Если интервал ( b- , b + ) достаточно мал и не содержит ноль, то коэффициент b является статистически значимым на с -процентном доверительном уровне.

Аналогично находятся максимальные и минимальные значения параметр a . Для нашего примера

,

.

Коэффициент а не является статистически значимым, так как интервал ( a- , a + ) велик и содержит ноль.

Вывод: полученные результаты не являются значимыми и не могут быть использованы для прогнозных расчетов. Ситуацию можно поправить следующими способами:

а) увеличить число n ;

б) увеличить количество факторов;

в) изменить форму уравнения.


2.4 Проблема автокорреляции остатков. Критерий ДарбинаУотсона


Часто для нахождения уравнений регрессии используются динамические ряды, т.е. последовательность экономических показателей за ряд лет (кварталов, месяцев), следующих друг за другом.

В этом случае имеется некоторая зависимость последующего значения показателя от его предыдущего значения, которое называется автокорреляцией. В некоторых случаях зависимость такого рода является весьма сильной и влияет на точность коэффициента регрессии.

Пусть уравнение регрессии построено и имеет вид:



где u t   погрешность уравнения регрессии в год t .

Явление автокорреляции остатков состоит в том, что в любой год t остаток u t не является случайной величиной, а зависит от величины остатка предыдущего года u t- 1 . В результате при использовании уравнения регрессии могут быть большие ошибки.

Для определения наличия или отсутствия автокорреляции применяется критерий ДарбинаУотсона:



Возможные значения критерия DW находятся в интервале от 0 до 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то DW  » 2.


2.5 Построение уравнения степенной регрессии


Уравнение степенной агрессии имеет вид:



где a , b   параметры, которые определяются по данным таблицы наблюдений.

Таблица наблюдений составлена и имеет вид

x

x 1

x 2

...

x n

y

y 1

y 2

...

y n

Прологарифмируем исходное уравнение и в результате получим



Обозначим ln  y через y' , ln  a как a' , а ln  x как x' .

В результате подстановки получим


Данное уравнение есть не что иное, как уравнение линейной регрессии, параметры которого мы умеем находить.

Для этого прологарифмируем исходные данные:

ln x

ln x 1

ln x 2

...

ln x n

ln y

ln y 1

ln y 2

...

ln y n

Далее необходимо выполнить известные нам вычислительные процедуры по нахождению коэффициентов a и b , используя прологарифмированные исходные данные. В результате получим значения коэффициентов b и a' . Параметр a можно найти по формуле


2.6 Двухфакторные и многофакторные уравнения регрессии


Линейное двухфакторное уравнение регрессии имеет вид



где a , b 1 , b 2   параметры; x 1 , x 2   экзогенные переменные; y   эндогенная переменная.

Степенное двухфакторное уравнение регрессии имеет вид



где a , a , b   параметры; x 1 , x 2   экзогенные переменные; y   эндогенная переменная.

Для нахождения параметров этого уравнения его необходимо прологарифмировать. В результате получим



Следует помнить, что мы получим не параметр a , а его логарифм, который следует преобразовать в натуральное число.

Линейное многофакторное уравнения регрессии имеет вид

,

где a , b 1 , b n параметры; x 1 , x n   экзогенные переменные; y   эндогенная переменная.





страница1/6
Дата конвертации19.05.2013
Размер1,35 Mb.
ТипЛекция
  1   2   3   4   5   6
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rud.exdat.com


База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2012
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Документы